１°はどれくらい？

１° という角量を実感しましょう

１° にこだわる理由はまだあります．それは，角と言えば，即，30°，45°，60°など，三角定規に関連する「有名角」を主に扱う風潮を憂うからです．

有名角に重きを置くわけは，テストに出題しやすい（近似値を使わずにすむ）からでしょう．

角は連続的に変化します．有名角だけがとびとび（離散的）に出現するのではありません（もちろん，１°単位で進めてもやはり離散的にはなりますが，有名角ほど極端ではない）．

 

Ｑ　グランドのスタート点にいる人が，地面から１°の角で100ｍ先にある垂直な柱を見たとき，その高さ(h）はどれほどでしょうか？

　この種の問いかけに対しては，まず，「予想する」「見当を付ける」習慣を身に付けたいもの（高校生や大学生になるとかなり困難です）．

なお，中学生が理解できるような説明にしましょう（→ 三角比・三角関数は使わない）．

• θ：１°
• 曲線（ピンク）：半径100ｍの円（弧）
• 点Ｐ：円と辺ＯＡとの交点
• ｓ：弧ＰＢの長さ
• Ｈ：Ｐから辺ＯＢへ下ろした垂線の足　　　　　とします．

つまり，角１°は，グランドのスタート点に立って，100ｍ先にいる身長1.74ｍ（男子高校生くらいか）の人物を見るときの仰角の大きさなのです．

補足

１　ｓ＝ｈ と見るのはランボーじゃないか？

　正しい値：100×tan1°＝1.7455‥･，一方ｓ＝1.7444･･･　ですので，誤差は１ｍｍ少々．

　割と”いい線行っている”と考えます．それだけ，１°という角は小さいわけです．

２　対応：θ → 弧長ｓ 　について

　この考え方は，高校数学で習う弧度法そのものです．つまり，中心角が弧長に比例する → 角θを弧長ｓと対応(代替)させる

　この発想により，言い表しにくく，数式化が難しい角量の扱いが克服されました．

３　高校数学では

　中心角θ，半径を１としますと，ＰＨ＝sinθ，  弧長ＰＢ=θ，ＡＢ＝tanθ　となります．

　図から分かるように，θ>0 ，θ≑0  のときは，sinθ＜θ＜tanθ であるとともに  

　かなり精度の高い近似式： sinθ≑θ≑tanθ 　が成り立ちます． 

中学生・高校生への問い

Ｑ　「仰角が５°の場合，100ｍ先のゴールに立つ人の身長はどれくらいか？」という問いに対して，1.74×５(※) と計算できない理由はなぜでしょう．また，正解は，※より大きいでしょうか，小さいでしょうか？

■ 思考過程に焦点を合わせた問は，今後ますます重視されていくものと予想します．記述式かマークシート式かは別として，思考自体をねらいとして，その解説の仕方（口頭試問も増えます）まで含めての学びに注目です．

■ つまり，「思考は教室内のやり取り（アクティブラーニング）で，結果はテストで見る」のではなく，「テストで全部を見る」へ！ですね．

■ 背景には「日本の授業の改善には，まずテストを変えた方が効果的である」という発想がありそうです．

■ 何はともあれ，角については，有名角を中心とした「テストのためのテスト」対策からの脱却を図る必要があります．

＜追記＞

■ 次回テーマは，「”折る”操作：折り紙は深い！」（仮題）です．

　折り紙は英語でもorigamiです．日本文化の一つですね．数理的な視点で教材化しましょう．

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