”微分の源流”を算数にみる
「市民が学ぶべき数学のゴールは，微積分である」という声は，今や風前の灯火かも知れません．
ゴール設定が諸事情により困難であるにしても，到達ゴールをキチンと意識しながら，小→中→高→生涯学習へと進めたいものです．
一連の見通しの中で今をあつかう
一連の見通しの中で今を学ぶ･･･二つのkey wordがあります．”学力保証”と”知的刺激”です．
① 学力保証・・・教師の使命ですね
② 知的刺激・・・個々の子供の数理センスをキャッチし，より伸ばす．自身が彼らの成長の「踏み台」に．この姿勢が ＝信頼です．
2019年ノーベル化学賞を受賞した吉野彰氏の言葉は印象的です．
「きっかけは，小４のときに先生が薦めてくれた一冊の本「ロウソクの科学」（ファラデー）だった」
もちろん加減乗除を含め算数のすべてが“微分の源流”になり得るわけですが，ここでは，微分（の導入）と直結している算数の単元に注目しましょう．
それは，
- 単位あたりの量
- 速さ
- 比例
などです．この中で，「比例」に焦点を絞ります．
比例の延長線上に“微分”をみる
小６算数で「ともなって変わる２つの量」として比例（と反比例）を扱います．
例：バケツに毎秒１㍑ずつ水を入れたとき，水の重さは時間に比例する
ただ，比例を重視する余り，
「ともなって変わる２つの量」＝ 比例
という誤解を与えてはいけません．
どうすればよいでしょうか．
■ 「ともなって変わる２つの量」について，数理的観察力を豊かにすることが，まず重要です．急ぐあまり，即「比例」に帰着させるのは，×です．
■ 「これまでより２時間多く勉強したら，テストの点数が10点アップした．では，４時間増にしたら，20点アップしますか？」など．考える余地のある問いかけを準備したいもの．
■ このように，周囲をいろいろと見ると「比例関係にある２つの量」というのが，意外と少ないということがわかります．
■ 逆説的になりますが，「だからこそ，比例関係に気付き，かつ，計算式化できる」は意義あることになります．
■ 代表的な問を紹介しましょう.
Ｑ 次の問に答えてください．← 小６算数で頻出（右図のグラフは中１数学）
一次関数:y=ax は，やっぱり基本の基
■ マトメ：比例関係は，グラフでは直線（線分が多い）y=ax で示される．
逆の言い方も重要：直線は，比例関係 を示している
Q「これまでより２時間多く勉強したら，テストの点数が10点アップした．では，４時間増にしたら，20点アップしますか？」について
（１）単純に比例計算できない理由を挙げてください．
（２）単純に比例計算できる場合･場面を考えてください．
＜解説＞
（１）時間を掛けたからと入って，即，点数アップにつながるとは限らない．集中せず余計なことに注力すれば，逆にダウンすることも．
（２）それでも，勉強時間と成績は関係があり，一般的には，正の相関が期待できる．その前提で，保護者も教員も子供たちに助言することが多いわけである．
特に，計算問題や漢字書き取りなど，単純なドリル学習に絞れば，掛けた時間に見合ったマルをもらえそう．その部分に関しては，時間と点数は比例関係にあるといってもよい．
変化の中で，”比例部分”に注目する
この視点が，微分の idea につながっています．
■ 変化の中で，もっともシンプルなのが，比例です．
■ 複雑な変化の様子も，小さい部分にのみ着目すれば，比例と見なせる個所もあります．
■ 図形の中で，点の次にシンプルなのは，直線・線分です．
■ 複雑な変化を表すグラフは，増減や凹凸など，その姿はまちまちですが，ごく小さい部分に着目すれば，線分に近いことがわかります．
■ 上図で，点Pの付近で，ｔが大きくなるとｓは増加しています．そこで，
①数式化，②増加の程度（急な増加か，ゆるやかな増加か） について考えましょう．
■ 先述した比例を使います．曲線全体の扱いは難しいが，ｔとｓが比例関係になりそうな（直線になりそうな）個所に目を付けましょう．
点Ｐのごくごく近いところ（近傍という）では，曲線と接線ｍ におけるｓの値はほとんど変わらない．
→ Ｐの近傍では，曲線を接線mで代用できる
→ つまり，近傍における変化を比例とみなす
→ ①Ｐにおける接線mの傾き：微分係数といい，f'(a)とかく（ f'(a)＝tanθ ）．
② f'(a)>0：右上がり，f'(a)<0：右下がり である（高校で習った増減表の根拠）．
また，f'(a)の値が大きいほど，急な上がり方（or下がり方）となる．
例：f'(a)＝１・・・接線mの傾きは45°
■ 最後に，曲線上の点の近傍における，
曲線≓接線 の様子を動画で紹介します（動画の扱いが不慣れですみません）．
＜追記＞
■ 次回テーマは，「数学的思考は教え込まず，”なるほど感”で」（仮題）です．
分解や結合，逆向きに解くなど，数学的思考にはいろいろありますが，学習者自身が「気付く」ことに価値があります．
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