やはり 0.999･･･=1 は疑問？

■ 0.999･･･=1　については，いつの時代も世代を超えて話題になります．

ということは， 今日でも，ナットクのいく解釈・解説が不十分 という証左かも．

■ 数学セミナー(‘19.11)で，数学界大御所の一松信氏（京大名誉教授）が取りあげていましたので，認識を新たにした次第です．

やや 無理筋 の説明

Ａ１

■ 手短で説得力に富み，ナットクするヒトも少なからずいます．しかし，多くの数学関係者が指摘するようにムリがあります．有限小数の0.333333×３は計算が可能．しかし，末尾が永遠に続く①「･･･」の部分を３倍するという計算自体が？です（繰り上がりがないからokとはいかない）．

■ こう言っては語弊がありますが，1=0.999･･･には「ナヌッ？」と感じたとしても，1/3=0.333･･･なら抵抗感が少ないだろう，みたいな安直さもチョロリと見える説明ですね．

Ａ２

■ これも「･･･」部分の引き算をしていますので，Ａ１と同様の評価が避けられません．引き算なのでかけ算よりはマシだろうという声も出るかな．

そもそも「･･･」の意味は何？

■ 小５算数教科書より

「 △/□＝△÷□　より　2/3=0.666･･･　」という解説が突然出てきます．

このように，分数 を小数展開する際，割り切れないとき「いくらでも続く」を表す意味で「･･･」という記号を使っています．日常用語の延長で「ワカルでしょ」くらいの扱いでしょうか．

■ 高校数学Ⅲ教科書より

■ 以上をまとめると，「･･･」は

日常用語として，”延々と続く”という意味で使用（例  1/3=0.333･･･）．情緒的な側面が濃い．

高校数学では，無限級数における極限計算の中で使用．情緒面をベースにして”数理”上の意味と扱いを明確にした．　

改めて 0.999･･･=1 をどう考えましょう

■ 本問の核心は次の3点の確認かと．

①ひたすら長く続く0.999･･･が一つの実数aを表していることを理解・体感する

②極限値計算（収束公式）により， a=1 となる

③再度，①に戻り，0.999･･･=1 であることを再認識する（”しみじみと感ずる“）

なお，a=1 の証明については上記の外，「0.999･･･と1の間に実数があるとすれば」という仮定のもと，背理法により a=1 と示す方法などが知られています．いずれにしても上記①③の確認が必須の用件ですね．

Ａ３

0.999･･･ が一つの数を表す：ダメ押し

■ 0.999･･･が一つの数を表す根拠理由を探してみました．

それは「有界な単調(増加)数列は収束する」※という公理（基本の基となる約束事）です．この※がないと実数軸は穴ボコだらけになってしまいます．

例：1, 1.4, 1.41, 1.414,･･･ この数列は，√2 に収束することになるのですが，認めないと実数軸上で√2を示す点に「アナ」が空くことになります（不連続点）．

このように※は，実数の連続性を保証する公理です（なお，同値な公理は複数あります）．

■ ところで，数列｛Ｓn｝は，上に有界な単調増加数列です（0.999･･･という式の作りからして1を超えることはなく，増加は明らか）．

すると，公理※により｛Ｓn｝はある値aに収束し，極限計算によりa＝1 となります．

＜補足＞

■ いろいろ述べてきましたが，でも，0.999･･･＜１と主張するヒト，やっぱりいますよね．

■ 次回テーマは，「宇宙人はいるか？」（予定）です．最近，結構話題になっていますね．やや視点を変えて取りあげたいと思います．

■ にほんブログ村のバナーをclickしていだだければ幸いです(最初:左，次:右).