“ねじれの位置”の数値化

空間において２直線がねじれの位置にあることを特殊なケースとして受け止めているヒトが少なくありません．はたしてそうでしょうか．そこで数値化を試みました．

ねじれの位置とは

中1の後半で学習します．

※１の説明文だけですと「何言ってるか分からない」「イメージがわかない」というヒトが多いと思われます．中１という発達段階からするとムリもない話かと．

そこで

※２は ２直線が同一平面上にある・乗っかっている を示していますね．

２直線が一致する場合も”平行”の一部とみなせば，空間内の２直線は次のようにまとめられます．

ここまでの説明ですと，空間内の２直線について，主役は”同一平面上の２直線”という印象を抱きませんか？

実際，上記直方体では，辺の総数12本から選んだ２直線の場合の数のうち，ねじれの位置にある場合は1/3(←同じものを含む順列として計算)，また，問題集や入試問題で登場するのは”同一平面上２直線”がほとんどです．

しかし，空間には無数の要素(辺)があり，そこから任意に2辺を選ぶと，”同一平面上２直線”はどの程度出現するのでしょうか？

ねじれの位置の数値化を試みる

空間内に直交座標軸を設定します．適当に4点ABCDを選び，それらが同一平面上にあるかどうかを調べましょう．参考にしたのは，次のサイト「高校数学の美しい物語」です．

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空間には無数の点が含まれていますので，無限に広がる空間に制限をかけて立方体とします．また，立方体内の要素を格子点として，４点が「同一平面上に存在」する場合をカウントして数値化を図りましょう．　

そこで，図のような1辺100の立方体を想定し，その中の格子点に着目します．　　　　

V内の格子点P(x,y,z)について，excel の random関数機能を用いて，x,y,z を 0以上100未満の任意の整数 として選びます．そして，その都度，行列式の値を瞬間的に求めていきます．行列式の値は，3ベクトルで作られる平行6面体の体積(符号付)を示します．

したがって，行列式=0 は，”つぶれた6面体”を示すということ．つまり，

行列式の値＝０ ⇒ ４点が同一平面上にある 　 となります．

Q ４点を100万個から次々とrandomに選んでいきます．その際，行列式＝0 となる，つまり，４点が同一平面上にある となる出現率はどれくらいでしょう．

　｛①30%  ②20%  ③15%  ④10%  ⑤5%  ⑥1%　⑦0% ｝

次の表は，乱数を発生して出現率を確認したexcel表の一部です．← ＜補足＞参照

ねじれの位置の出現率

Ａ 乱数を発生させることにより，ABCD各点のxyz座標にそれぞれ2000とおり（組）の整数値を当て，上記のように行列式を計算した結果，行列式=0 となったのは，わずか１組でした．すなわち，1/2000=0.05%です．99.95%の確率で４点ABCDは同一平面上にはありません．正解は⑦０％です．

このように，空間内の4点を任意に選ぶとき，その4点が同一平面上に存在することは，統計的には「ごくまれ」と言えましょう．つまり，ほとんどの場合，ねじれの位置になります．

※なお，立方体の１辺を10にして，格子点の総数を10³=1000 にして乱数を1000とおり発生させたときは，1000のうち20回，すなわち，2% の出現率でした．

なぜ”ねじれの位置”と言うのか？

たとえば長方形の場合，一般の四角形が（無数に）ある中で，平行四辺形があり，さらに長方形がその一部としてある･･･こういう流れや包含関係を理解できるワケです．

比べて，”空間内２直線”については，包含関係のない ①同一平面上に存在，②同一平面上にない＝ねじれの位置　と２つに大別するまではよいとしても，①のみに偏った指導展開が目に余ります．テストに出題しやすいから①を”偏愛する”，という見方も成り立ちそうですね．

結局，”空間内２直線”の指導展開を通して，ヒトビトの空間認識力は向上せず，むしろ，ミスリードしているとさえ感じます．無意識・適当に空間内に２直線を描けば，それは，まず，ねじれの位置になる，というイメージを持ちたい・持たせたいものです．

線分PQが２直線と垂直であるときに最小値をとりますが，その値を２直線間の距離といいます（証明は難しくありません）．距離PQを軸としてどちらかの直線をねじる（or ひねる）と平行線になります．逆に，平行線1本をねじると平行線でない形ができるので，ねじれの位置 と命名したと理解できますね．

＜補足＞

■ ”ねじれの位置”は，中１（13歳）のときだけの取りあげになっています．もう少し取り上げる場面設定があるべきかと．教科書会社への希望です．スマホ画面でいくら工夫しても所詮2次元表示です．空間認識力はそれでもって身に付くほど甘くありません．

※excelの乱数発生についてですが，関数が進歩しており，本稿ももっとラクに出来たはず（昔のアタマ！）．

■ 次回テーマは，「面積を測る」（予定）です．距離や重さを測定するグッズはいろいろ市販されています．しかし，面積測定器となると，ハードルは極めて高くなります．そこで，ささやかな代替案を・・・．

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