“有理化”は一通りしかないのか？

√5 など根号で示される無理数に係わる独特の変形：有理化(rationalization)を話題にします．

ところで，1÷2.236 と 2.236÷5 について

①筆算で計算するとき，どちらがラク？　②両者の値はほぼ等しくなりますが，なぜ？　

“有理化”とは？

■ 有理化とは，無理式において，その一部を根号のない形に同値変形することをいいます．最も一般的なケースは，分母の有理化です．

$$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} $$

上式で，確かに分母から√ 記号はなくなりました．

√5≓2.236 ですので

$$\frac{1}{2.236}≓\frac{2.236}{5} $$

となるわけですが，左辺の計算はケッコウ面倒です．実際に計算して確認する手間ヒマが大切です．電卓によらず是非，筆算！でいきましょう．

左辺＝右辺となる不思議さ＆有理化の意義が感じられますね．

ところで

$$\frac{1}{1+\sqrt{5}}=\frac{1-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}-\sqrt{5}}=1-\sqrt{5} ? $$

は成り立つでしょうか？ 計算するまでもなく，右辺=1-√5 < 0 はおかしいですね．

⇒ このように，有理化（√ 記号を消す）のために，引き算・足し算による方法はよろしくないことが分かります．

⇒ 結局，√ 記号が入った式の有理化には，√a・√a = a の等式活用する，かけ算による方法が残ります．

Q 上記例で，√5+√2 を分母分子にかけて分母を有理化しているが，√5+√2 以外の数はないのか？

⇒ twitter上で同主旨の質問がありました(‘21.12)．(1) √5+√2 が突如，登場するワケ，(2) √5+√2 以外の数はないのか　という声でしょうね．

Ａ

(1) 展開公式：(x+y)(x-y)=x²-y² において, x=√5, y=√2 として x+y=√5+√2 としたもの．

(2) もちろん，3(√5+√2), -2(√5+√2) などを用いても有理化できます．このように，有理数×(√5+√2) は同じ機能を果たすので，同一視して1つと見なします．

ここで，√5+√2=k とします．

＜補足＞

■ 有理化に関連して，rational numberの訳が有理数なのですが，これは適訳ではなく，誤訳に近いとさえ感じます．明治当時に候補にあったという有比数がベターです．つまり，比が有る数，すなわち分数のこと！，分かりやすい！と思いませんか？

■ 次回テーマは「”･･･”の意味」（予定）です．”･･･”はよく目にしますが，いつも同じ意味でしょうか？

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