積分定数は “付録”か？
積分計算には，積分定数Ｃが付きもの．ただ，実際のところ，積分定数は”形式的存在”のイメージが強く，付録・お飾り といった印象かと．この際，再認識をしましょう．
■ 高校教科書(数Ⅱ)を見る限り，積分定数の解説は実に淡泊であり，このような扱いだと積分定数は注目されないでしょう．
「答案には “＋C を忘れないこと！書かないと減点されます！」…
と注意喚起される程度
正に，付録・付け足し ですね．
積分定数は “決定条件”なのです！
■ 図は，点Pは地面からの高さがhm のところにあって，点Pからある物体を鉛直上方に初速度v₀m/sで投げ上げたとき，t秒後の物体の高さがyｍである 様子を示しています（物体への空気抵抗はないものします）．
■ 結論ですが，yは t の関数として表されます．v₀, h が具体に与えられると，t秒後のyが計算で求まる! ワケです．
■ 確認します．時間t において
① y …高さ，つまり,縦方向の位置座標を示す．
② y’…物体の速度Vを表す．つまり,V=y’
③ y”…物体の加速度αを表す．つまり, α=V’=(y’)’=y”
となります．
■ ①→②→③ は微分の流れ ですが
③→②→① は積分の流れ となります．
ここでは，① y を求めることがゴールですので，後者の積分計算をします．
仮に，h=20m, v₀=10m/s としましょう．
(1) 加速度 α
本問の場合，α=ーg となります．ここで，g:重力加速度で約9.8m/s²
⇒ α= y”= ー9.8
(2) 速度V
V=y’=∫y”dt です．
⇒ V=y’=∫(ー9.8)dt= ー9.8t + C1 （C1:積分定数）
ここで，初速度v₀=10 ，つまり，t=0 のとき，V=10
よって，C1=10
ゆえに，V=y’= ー9.8t +10
これで積分定数C1の正体がハッキリしました．
初速度，つまり，重要な初期条件を示しているのです．
(3) 座標ｙ
y=∫Vdt=∫y’dt です．
⇒ y=∫(ー9.8t+10)dt= ー4.9t² + 10t + C2 （C2:積分定数）
ここで，t=0 のとき，y=20m より，C2=20m
ゆえに，y= ー4.9t²+10t+20
ようやくyをtの関数として表すことができました．
積分定数は「責任定数」！
■ 例を挙げたモノの上方投げで，
①どのくらいの速度で投げるか(v₀)
②立ち位置がどれくらい高さなのか(h)
これらは，投石が生死に係わっていたであろう原始の時代から，投石の際は，向きとともに「必須・不可欠」要素だったことは間違いないでしょう．
※各要素の数値化はできないとしても，経験則を踏まえ何らかの手段で「伝授」を重ねていたはず．
■ この事実に立脚するとき，積分定数の軽視・ぞんざいな扱いは，まったくケシカラン！と感じています．
背景の一つに，「数学と物理の乖離」があります．特に，数学側の責任は大です．
＜まとめ＞
積分定数は，運動を式化する際，式を最終決定する重要条件です．最低，数学教科書でも記述されるべきです．積分定数ならぬ「責任定数」ですよ，あの +C は !
＜補足＞
■ 次回テーマはあの有名な確率問題「モンティ・ホール」です（予定）．ゆううつな問題ですね．
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