カップの冷め方 ⇒ まず”観察”から
カップの冷め方は”あの分野“の典型例で、解法パターンに倣って忘れないうちに即、計算に…と走りがちです。しかし、ここはモノゴトについて観察力UPといきましょう。
下図は、コーヒーカップの温度変化を示しています。
最初は90℃であったのが、3分後に82℃となったとさ。
では、さらに3分後には何度になるでしょう？
観察（温度変化）から思考へ
■ 本問は、高校生はもちろん、小学生から高齢者まで幅広い年代層に「問いかけ可能」です。
年齢に関係なくそこここの「反応」がありますが、やっぱり74℃が多いのです。
⇒ 主対象である高校・大学生の「観察力」が伸びていないということ！
別の例を挙げます。
■ 図で、ケースにビスが何本くらい入っているでしょう。
グループ学習によく登場する教材です。手順は
①数本のビスの合計の重さを測る（例：5本の重さが12g）
②ケースだけの重さを測る（例：30g）
③ケース全体の重さを測る（例：750ｇ)
①～③を総合して比例計算によりビスの本数（概数）を求めます。
⇒ 12÷5=2.4 (g/本)、（750-30）÷2.4=300(本)
■ 気配りのある数学リーダーなら、正解に一番近かったグループに「粗品」をプレゼントするなどして場を盛り上げたりします・・・
参観者の代表的な声：「どのグループも活発な話し合いをしていた」「子どもの表情から楽しく学び合っている様子が分かる」「ケース自体の重さに気づくグループが次第に多くなっていて、学び合いが深化していた」・・・
⇒ 言いにくいのですが、子どもたちの数理能力は高まっていない！、分析が甘い！ と考えます。
■ 上記計算式は、各ビスが工業規格製品であって初めて成立する論理です。
江戸時代の和釘（大きさや重さがまちまち）では同じ論法は使えないでしょう。
⇒ 変化 ≓ 比例 という思考パターンが、子どもはもちろん、数学リーダーにも「定着し過ぎ」です。
⇒ 発達段階にもよりますが、小学高学年以上であれば、単純比例計算ができない場合の確認をゼヒ取り上げたいもの。計算より意義ある思考とさえ考えます（「試験勉強を2倍すれば、点数も必ず2倍になるか？」と問われればさずがにyesとは言わないでしょう）。
■ カップの本題に戻ります。
82℃になったカップは3分後、どれくらいの温度になっているでしょうか？
■ その下がり具合を表す適切な例を図の①～④の中から選んでください。
■ ①②が×の理由：新たな熱源（ヒーターなど）はないので、温度が不変 or 上昇するワケがありません。
④が×の理由：本問で74℃と答えたヒトは④を選んだことでしょう。つまり、（単純）比例計算をしていることになります。が、「この調子」で論を進めるとどうなりますか？温度変化（熱勾配といいます）が右下がりの一直線状ということは・・・そうです、時間がたつとそのうち、氷点下の温度にもなりましょう？！
カップの冷め方は時間に比例しない（できない）のです。③が正解となります。
■ 氷点下の温度と言いましたが、正しくは、「カップは室内温度（ｍ℃）以下の温度にはなり得ない」ということです。
※「もし、直線的に温度が下がっていけば、カップが室内温度未満になってしまう、これはあり得ない！」という論法ですから、背理法を用いています。背理法は高校で扱いますが、内容は中学以下でも無意識に使用している論法といえます。
■ カップの温度を y とすると、yは時間 t の関数：y=f(t)となります。そのグラフのおおよその形状を描いてみましょう。
その際、y=f(t)のグラフの特徴は
(ｱ) 途切れない・・・温度が突然飛び下がったり空白（値なし）とはならない（連続性）
(ｲ) なめらか・・・温度は瞬間的に変化できない（微分可能）
(ｳ) 減少関数・・・温度が横ばい or 上がることはない
(ｴ) カップ温度ｙ・・・mを下回ることはない
■ 以上のことに留意すると、y=f(t)のグラフはおおよそ次のようになります（ならざるを得ません）。
■ 全体として下に凸形(型)の曲線になることが推測できますね。
⇒ この曲線を表す式を、指数関数といい、人口の増減、モノの販売量の増減など、量の増加・減少度についての数学的記述をする際、必ずといってよいほど登場します。
⇒ 具体には、微分方程式を立て、それを解くと指数関数がお目見します。
＜補足＞
■ 先日、実際にカップに熱湯を入れて、6分後の温度を測定し、微分方程式を解いた理論上の結果と比べてみました。後日、ご報告します。
■ 次回のテーマは「その説明、子どもに通じている？」です（予定）。
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