印象度が低く，可哀想な公式
数学の公式・定理にもいろいろあって，三平方の定理などは横綱クラスでしょう．中には，貢献度はサイコークラスなのに地味なヤツもいます．レ･ミゼラブル…
地味公式の困った使用例
Ⅰ {f(x)+g(x)}’＝f’(x)+g’(x)
■ 要するに，関数の和の導関数＝それぞれの導関数の和 ということです.
⇒ 変数xを省くと，(f+g)’=f’+g’ となる．学ぶヒトにとっては極めて分かりやすい公式でしょう
⇒ (f+g+h)’={(f+g)+h}’=(f+g)’+h’=f’+g’+h’ となり，4関数以上でも同じ
例：とある数学指導者Aさんの解説から
「この公式の証明ですが，教科書にあるとおりで常識的な結論ですね．たとえば，y=x³+x²+3 のときは、公式より(x³+x²+3)’=(x³)’+(x²)’+3’=3x²+2x となります．これは楽勝！」
← こんな調子で大丈夫？
＜何がモンダイ？＞
■ 公式Ⅰ (f+g)’=f’+g’ が成り立つことが、ごく当たり前 という雰囲気が教室内を覆っている様子です．
⇒ Aさんのスタイルは，公式解説の際，”当たり前”を根底に計算方法のみに力点を置くタイプ．一事が万事、いつも同じようにして教科書を説明しているのでしょう
■ Aさんに習い続けたヒトは，たとえば
sin(θ₁+θ₂)=sinθ₁+sinθ₂ ，(f･g)’=f’･g’
という式を見せられるとナットクする可能性が高いと予想します．
※ 正しくは
⇒ 前者： sin(θ₁+θ₂)=sinθ₁cosθ₂+cosθ₁sinθ₂ ，
⇒ 後者： (f･g)’=f’･g+f･g’
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Ⅱ ａ:ｂ＝ｃ:ｄ ⇔ ａｄ＝ｂｃ
■ 内項の積＝外項の積 ということで小学校算数以来，なじみある比例計算公式です．計算ミス以外、間違うことはない！と思う方も多いかと．
例：下図で，高さABを求めてください（図の角は正しい値ではありません）．
■ AB=10ｍ と答えるヒト，必ずいます．
つまり，13:26=5: 10 と考えたようですが，よくある間違いです．変化＝比例 と信じて疑わない困ったビョーキですね．
⇒ 底辺の長さ:a , AB=x, として、tan13°≓0.23=5/a ①，tan39°≓0.81=(x+5)/a ② この連立方程式を解くと，x=(約)12.6m
■ 「対角と対辺が比例する？」何と勘違いしたのでしょうか？
⇒ 「中心角と弧の長さとの関係」とゴチャになったのでしょう
次の図で，中心角：∠POQ=26°, ∠QOR=52°，また，それぞれの中心角の対辺をQ’P，R’Q’ とします（R’はかなり上方．図からはみ出している）．
このとき，円弧の長さ L1, L2について
確かに，L1：L2＝26°：52°=1：2 が成り立ちます．
しかし，対辺 Q’P：R’Q’＝１：2 は当然成り立ちません（R’は図から外れるくらい高い位置に）．実際，θ→90°のとき，tanθ →＋∞(θ:第1象限)となるので角と対辺は比例しません．
Q 上図で，中心角と弦の長さは比例しますか？
つまり，26°：52°＝1：2＝弦PQ：弦QR
が成立つでしょうか．（解答は後述）
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Ⅲ 多項式P(x)を x-a で割ったときの余りは，P(a) である（剰余定理）
※ 本公式は「地味」というより”突然・意外”過ぎるタイプかも．
例 P(x)=x³-5x²+3x-2 を x-2 で割ったときの余りRは
R=P(2)=8-5×4+3×2-2=-8
⇒ 天下り式に剰余定理を紹介し，例題で確認・・・というパターンです．学習者にとって本定理を学ぶ必然性を示していればよいのですが．
どうすればよいのか
■ 余弦定理やΣk²公式などは，「やさしい顔」しておりませんので，公式適用をする際は，それなりの「慎重さ・覚悟」を持ってコトに当たるでしょう．
「地味」公式も同じ発想でコトに対応させましょう．2例挙げます．
Ⅰ {f(x)+g(x)}’＝f’(x)+g’(x)
例 （x³+x²)’ を計算する際，Ⅰ公式を用いず計算すると次のようになります．
上式で，Ⅰ公式を使えば2～5行目までを一気に飛ばすことができ，時間と思考の節約になるのです．
この体験を一度は味わう・味わせることが極めて重要です．
「ホラ，このⅠ公式があるとないとではとんでもない差がありますね．Ⅰ公式に感謝！」
多少の時間はかかるとしても，その労力を理解することが次へのステップアップに繋がります．
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Ⅲ 多項式P(x)を x-a で割ったときの余りは，P(a) である
例 x⁹-5x³+3 を x+1 で割ったときの余りを求めなさい
（剰余定理の導入時あたりの場面を想定します）
実際に筆算で挑戦してもらいましょう．
■ 図は割算の途中です．結構時間がかかるものです．
「ところで，今日の授業の最後には，ほぼ10秒ぐらいで即答できるようになります．その武器は，剰余定理といいます・・」
⇒ こういう労力をかけてこそ公式や定理のありがたさ（御利益）が分かるのです．学ぶ姿勢につながります．
Q の答
比例しません．一般的な証明も可能ですが，反例を一つ挙げればよいでしょう．
■ 図で∠POQ=45°， ∠POR=90° とします．
もし，「円周角と弦(の長さ)が比例する(※)」と仮定すれば，PR=2PQ となるはず．しかし，明らかに, PR<2PQ(=PQ+QR) ．よって，※は成り立たない．
＜補足＞
■ 公式で使用される記号は，最高程度に洗練され，必要かつ最小限の表現で登場します．その際，そのスマートさに「ごまかされる」こともあります．時には泥臭いプロセスも大切にしたいものです．
■ 次回テーマは「同様に確からしいってヘンな日本語だ！」（予定）です．まぁ直訳ですので仕方ないのですが・・・
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