「1=2 ならば 2>3」は真？

ある命題「p→q」※について，p:偽 のときは，ｑが真でも偽でも※はつねに真 なる命題となります．つまり

1=2 ならば 2>3 

6>9 ならば  2+3=5 

ともに真なる命題なのです．

昔々、ある著名な数学者はこの結果について「あれこれ悩んでも生産的でない」と述べていたことを思い出します．

でもその背景を知っておいてソンはないですね．

生産的でない悩み ⇒ 一応の説明

■ 命題とは「真偽（○×）がハッキリしている数学的な文章」を指します．

例：「3の倍数は,6の倍数である（×）」，「長方形ならば平行四辺形である（○）」

（注）「a>1 である」などは，aに具体数が入ると，真偽がはっきりするので命題とします．

■ ここで，数学のいつものパターンですが、命題と命題からあらたな命題を作っていきます．命題をｐ,ｑ,ｒ…と書きましょう．

やや抵抗感のあるのが、命題「ｐならばｑ」です．

ｐを仮定，ｑを結論といい，ｐ→ｑ と表します．

②  ｐ→ｑ は，「ｐである限りｑ」ということ，すなわち，「”ｐでありながらｑでない” ことはない」という意味である（二重否定）

例：「傘が開いているのに，雨が降っていないはずはない」（←日傘もあるなどと言わないで）

③ ｐ→ｑ の真偽表を作ってみよう

■ 上の真偽表を見て気づくことは，ｐが偽（×）のときはｑの真偽にかかわらず，「ｐ→ｑ」は常に真（○）となるワケ(※)です．

※ 異議を唱え別ルールを設定することも可でしょうが，真偽表を再度作成することになり，従来のルールとの整合性を採るのは至難の業かと．

⇒ 「生産性がない」という数学者のコメントを思い出したい．

例1「1=3 ならば 2+3=7 」は真（○）

例2「3>1 ならば 2+3=7 」は偽（×）

以下は，強力な論理ツールである“対偶”についてです．

対偶の“切れ味”

■ ある命題とその対偶は“同値”なのです．時に，対偶は凄い切れ味を発揮します．対偶の活用を身に付けましょう．

Ｑ1 命題「x²≠4 ならば x≠2」は真か偽か．

Ａ1　まともに取り組むとちょっと悩まされますね．

対偶をとると「x=2 ならば x²=4」← 当たり前！

よって，真です．

Ｑ2 「しかられなければ，勉強しない」の対偶は

「勉強すれば，しかられる」となりそうですが，はて？

Ａ2 日常用語に記号論理を適用する際，因果関係や”時間”が抜けてしまうことがよくあるので注意しましょう．

正解は「勉強したとすれば、（その前に）しかられていたときである」です．

＜補足＞

■ ある約束事を拡張する際、これまでの結果と矛盾なく整合性をとるため，新たな取り決め（定義）の必要が生ずる場合があります．a⁰=1 や ０!=1 の扱いも同様でした．

■ 次回テーマは年始めですので数学を離れ「リーダーが放つ意欲をそぐ言葉」（予定）です．

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