中学生に”図で説く”←不定方程式：ax+by=1(a,b互いに素)

不定方程式のイメージはどうも明るくないようです．「不定」自体から受ける印象も不気味ですしね（定方程式という用語もない！）．

定理 aとbが互いに素のとき，不定方程式：ax+by=1 ② には整数解が存在する

⇒ 高校数学で登場する「存在定理」の一例です．解の具体像は提示しないが「解はある」と存在は保証するというワケです．※二次方程式の解についていえば，解の具体の式：x=(-b±√b²-4ac）/2a へと導く一連の展開で，解の存在も明示しています．

例1 4x+7y=1 について，4と7は互いに素．よって，整数解をもつ．実際，(x,y)=(-5, 3) は解（の一つ）である．

例2 2025x+7y=1 について，2025と7は互いに素．よって，整数解をもつ．実際，(x,y)=(4, -1157) は解（の一つ）である．

定理の証明へ向けて

■ 大別して2とおりの証明方法（ユークリッドの互除法を用いる，またはbによる割算の余りに着目）が知られていますが，ここでは，中学生を念頭に，図解による「証明もどき」に挑戦します．

定理は係数，解とも整数に限定しての主張ですから a, b は負であっても構いません．

そこで，たとえば，a=-4, b=7 とします．②は，-4x+7y=1, つまり，y=(4x+1)/7 …であり，そのグラフは次のような直線Lを表します．

ここで本定理の主張について

「①が整数解をもつ」とは「直線Lが x,yともに整数である点P(x,y)をとおる」のことと解釈され，上図では(5, 3), (12, 7)などが点Pに該当します．

なお，このように座標が整数値で示された点Pを格子(こうし)点といいます．

つまり，本定理は

定理　a,bが互いに素のとき，直線：ax+by=1 ② は，格子点をとおる

と言い換えられるワケです（実際は，格子点は一つではない．無数！）． 

補題1

上図で，aとbは互いに素とする．このとき，斜辺AC上にはA,C以外に格子点は存在しない．

(証) 点B’のほかC’が格子点と仮定すると，△ABC∽△AB’C’ が成り立つ．つまり，b/a=B’C’/AB’ となって，b/aが約分できることになり，aとbは互いに素に反する．

⇒ 上図で，aとbが互いに素のとき，格子点を頂点とする直角三角形のうち，△ABCより小さいものは存在しない．

■ 定理の証明に向けて話を進めます．

以下，a=-4, b=7 として解説します(それらの数をそれぞれa,bに置き換えると論理展開の一般化ができます)．

次は，-4x+7y=0 ，つまり，一次関数： y=(4/7)x の一部を示しています．

図Ⅰ

図で，x=0,1,2…,6 に対応した直線AC上の点をそれぞれ点P0 ～P6 とします．

さらに，各点の関数値yの小数部分（図で各点下部赤線分の大きさ）をそれぞれr0, r1,…,r6  とします．

たとえば
P4 のyの値は，y=(4/7)x=(4/7)・4=16/7 となります．
ここで，16/7=(14+2)/7=2+2/7 より，r4＝2/7 

⇒ 同様に，r0=0, r1=4/7, r2=1/7, r3=5/7, r4=2/7, r5=6/7, r6=3/7

図Ⅰから気付くこと

補題２

各rk (k=0～6）の値は｛ 0/7, 1/7, 2/7,…, 6/7 ｝のいずれかであり，かつ，重なることはない

⇒ 「点P0 ～P6 の各関数値yを7で割ったときの余りは｛ 0,1,2,…,6 ｝のいずれかであり，同一の値となることはない」と同じ意味になる．

証明は以下のとおり

図Ⅱ

図Ⅱで，x=ｉ,ｊにおける「赤線分」の大きさが等しいと仮定する．

つまり，O’Pi=B’Pj ．このとき，四角形PiO’C’Pj は平行四辺形となるので，PiPj ∥ O’C’　よって，△O’B’C’∽△OBC 　

これは，△OBC より小さく，△OBCと相似な三角形が存在することになり，補題1に反する．よって，補題2が示された．

■ この結果より補題2から，-4x+7y=0 の場合，赤線分の大きさが6/7，つまり，OC上の点Piの関数値yを7で割ったときの余りが6という箇所は必ず１つだけあるということ（実際，r5=6/7 です）・・・③

いよいよ定理”証明”です

■ 定理を再掲します．

定理　a,bが互いに素のとき，直線：ax+by=1 ②は，格子点をとおる

前述しましたように，a=-4, b=7 として証明（もどき）します．適宜，数→文字への置き換えでナットク方お願いします．

図Ⅲ

証明

図Ⅲで，L1: -4x+7y=0 ，L2: -4x+7y=1 とする．

このとき，上記③の結果から，L1上でx=0,1,…,6 のそれぞれに対応した関数値yの小数部分（各点下部赤線分の大きさ）がジャスト6/7となるxが一つだけある（実際，上記例ではx=5 が該当）．

ところで，直線L2 は 直線L1をy軸方向に1/7平行移動したもの  ← L2: y=(4x+1)/7=(4/7)x+1/7

つまり，6/7+1/7=7/7=1 となり，直線L2は格子点(5,3)をとおることが示された．

＜補足＞

■ 今回の「ドロくさい」証明方法はオリジナルです（多分）．a,b のママで展開していたのですが，途中で方針を変え，具体の例でやってみました．

■ 次回テーマは「重心，第２弾」（予定）です．重心は操作活動の外，思考実験も出来るし．教材・教具の代表みたいな感じがしますね．

■ にほんブログ村ランキング（数学教育）にかかわってバナー↓のclickをお願いします（宣伝が多く恐縮です）．

■ もう一つ．「ブログみる」の紹介ブログ村制作のblogを見るためのアプリです．世は正に情報過多の時代．しかし1日は24時間しかありません．できるだけ良質のブログと出会いたいものです．ブログ村が総力を傾注して立ち上げた

ブログみる

に関わっていきましょう．