“腕力”計算は無意味か？

「いかにスマートに，かつ，短時間で結論に至るか」を追究することは数学を学ぶ際の必須姿勢です．

総当たり（しらみ潰し）⇒ 整然と列挙

■ 何か困難にあった際，全体像が分かると不安も軽減されますね．数学を学ぶときも同様です．即，計算へと走る前に全体の把握に努めたいもの．

■ 某有名私大幼稚部の入試問題だったとの説もありますが，実際のところは不明です．

Q1 図のマッチ棒2本だけを動かして，ゴミをちりとりの外に出しなさい．

■ 子どもから高齢者まで年齢を超えて手応えありませんか？ 今回のテーマに沿って話を進めます．

A1 ＜思考の方向＞

(1) 4本から2本を選ぶ ⇒ 有限とおり（大したことない）

(2) 全部，列挙する ⇒ 4本から2本選ぶ：₄C₂=6とおり

(3) cとd は左右対称なので実際は次の4通り

①a,b  ②a,c  ③b,c  ④c,d

(4) 実際に操作する

①，②、④はどう置いてもゴミは外に出ない．

⇒ 消去法から③が正解．ではbとcをどう置くべきかと全神経を集中させる…

⇒ 多少の試行錯誤の結果，成功! （…正解はあえて書きませんが）

■ この問から分かることは

考える対象に対して

Ⅰ もれなく　Ⅱ ダブりなく

整然と全体を列挙する

ことで，戦略が立てやすくなり，先が見えてココロも落ち着きます．

Q2 15x²-31x-24 を因数分解しなさい．

A2 ＜解と思考の方向＞

■ 生徒の様子を観察すると，大半は即「たすき掛け」式で取り組みます．その際，気になることは，戦略がたすき掛けだけであり，まぁ「思考抜き作業」という感じの姿が多く散見できます．

⇒ メンドーな計算でも，次につながる何らかの「思考」を押さえたい

■ 出発点に戻ってみます．

■ 次はたすき掛け計算に頼らない「素朴」な解法です．

■ 本問の因数分解ですが，平均的な高校生の正答率は50％未満だろうと見ております．原因の一つに,”背景理解抜きのたすき掛け指導”があるのでは？

正解が「有限」の中にあるのですから，たすき掛けに頼らずトコトン挑戦させるべきです．そのうち，-31という数に着目して早くゴールインする生徒も出てきます．そのような発見・気付きが思考につながります．

■ 整式の因数分解とは，整式の展開の逆演算です．したがって，展開指導時に因数分解を同時並行で扱う手もあります．混乱する！という声もありそうですが，経験則から言えばありません（でした）！

微分と積分計算の初歩でも同様の対応をしていました

⇒ 「今，微分したけど，微分結果から元の関数って求められる？」という調子）

Q3 f(x)=10ｘ⁸-5ｘ³-3ｘ²+7 を ｘ+1 で割ったときの余りを求めなさい．

A3  剰余定理を用いると，余りは，f(-1)=10+5-3+7=19 となりますが，導入時に，是非，筆算で余りを求めさせたいもの．この壮大でムダな筆算を体験することで，剰余定理や因数定理の意味と意義，まぁ，ありがたさが分かりますので，長い目で見れば元は取れます！

■ 以前，本blog「学習の進んだ子ども（その3）」で，”1～1000まで書き続けた小1生”をupしました．1000まで書き続ける過程でその少年（後に数学者）はどんな学びをしたのでしょうか？令和の時代の学びに活かさねばなりません．

1～1000まで書き続けた小1生（改訂版）…学習の進んだ子ども（その3）

＜補足＞

■ 公式の当てはめ方の上手な指導も見受けますが，思考力の育成という視点はしっかりと押さえたいものです．

■ 因数分解で，正解にたどり着いたとき「これ以外の解（数の組み合わせ）はないのだろうか？」という疑問は価値ありです．

■ 次回テーマは「プレゼント交換」（予定）です．完全順列は手強い！

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