円の面積公式って証明した？小中高いつ？ （その２）
■ 図の主張は「円は限りなく長方形に近い形になる」です．
したがって，S≓（円周の1/2）×半径=2πr･1/2･r=πr² となろう
ここまではよいとして，いつ≓が=になったのか？
つまり，なぜ，S=πr² とできるのか．
その舞台裏を探ってみましょう．
Ⅰ 内接正ｎ角形の面積：Sn
半径rの円において，円周をn等分し，nをどんどん大きくしていくと
①各辺は次第に円弧に近づく
②正n角形は次第に円に近づく．よって，nを大きくしていけば S（円の面積）が求まりそう．
③正n角形は次第に円に近づくので，その面積Snは増加していく．しかし，円に内接しているので，Sを超えることはない．
つまり，Snは増加するが，限界（頭打ち）があるということ．
＜マトメ＞
円の面積：Sは，増加するSnの「究極の値」として考えてよさそうである．
（注）面積Sが究極の値として既に決まっていてそれを探すというニュアンスではありません．したがって，現段階では，面積の姿らしきものありそうだが，S=πr² はまだ登場していません．
Ⅱ S=πr² の登場
＜参考＞循環論法
＜補足＞
■ Ⅱで，f(θ)：増加関数としたワケは，Ⅰでnが大きくなるとき，Sn が増加関数だからです（ただし，Sを超えることはないが）．
■ アルキメデスは正96角形を描いて円周率を求めました（近似値）．円面積や円周の長さも証明のハードルは高く，最後は「極限値の意味・意義」のナットクになるのでは？と思います．
例：無限小数0.999･･･=1 を「承服できない」ヒトにとっては，円面積公式も証明の末尾がアイマイとなりそうです．
■ 単調増加かつ上に有界な数列は収束する（実数の完備性）・・・「数学序説」（培風館）の中で，著者の赤攝也氏は極限の考え方について次のように述べています．
「～コーシーの成功の鍵は，すべての人が固執した”究極”という観念をあっさりと捨てた点にあった．・・・つまり，彼は”究極”まで行ってしまわないで，その途中の様子だけを見よう，とするわけである～」
無限小数0.999･･･の例で言えば，途中経過を見るとどこまでも1に近づいている．その事実確認をもって，0.999･･･=1 としよう！とする主張です．
⇒ つまり，「絶え間ない接近プロセスの確認」でもって「1」とするのです（極限値1の存在）．1とすることで，そこに実数の「穴」が生じてしまう可能性を防ぐ（回避）ワケです（実数の完備性といいます）．
⇒ でも，0.999･･･ を見て1を感ずることに抵抗感があるのは分かりますね
■ 次回テーマは「(sin x)’=cos x の図形的体感」（予定）です．例の有名な定理ですが・・・
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