(sin x)’=cos x の図形的体感

sinの微分結果がcos とは！何とも不思議なコトだ

という思いを抱かれた方も多いのでは？この不思議感を払拭すべく，以下のように図形的解釈を試みました．

■ 微分係数 f'(a) は，定義により曲線 y=f(x) 上の x=a に対応する点Ｐにおける接線mの傾きを表します．つまり，右上図で，f'(a)=tanθ　というわけです．
※ ちなみに，接線の英訳は，tangent です．

■ たとえば，f'(3)=1

　　　 ↓

曲線y=f(x)上で x＝3 に対応する点の接線は,x 軸と45°の角をなす

■ さらに，a をx で置き換えたものが導関数 f'(x) です

→ この「置き換え」など，数学特有の自由性（勝手さ！）に拒否反応を示すヒトもいますね

　例：y=x²　⇒ ｙ’＝（x²)’=2x

■ 微分の定義に基づいて y= sin x の導関数を求めると，かなり複雑な計算（1～2ページ程度）が必要なのですが，確かに y’= cos x が導かれます（高校数Ⅲ教科書）.

しかし，ナットク感はともかく，意外性や不思議感は多くのヒトに共通している思いでは？

■ 右図で，直線ｍは，y=sin x 上の任意の点Ｐにおける接線を表しています．
※ ｍは，画面では関数グラフソフト grapes を用いて正確に引かれていますが，実際は，定規を使用して手作業で接線を引きます（アナログ作業）．後述．

さて，この図からｍの傾き = f'(x)=cosx となることを図形的に説明してみます．

■ 右図で，Ｐは y=sinx 上の任意の点であり，m はＰを接点とする接線です．
また，点Q, Rはそれぞれ y=cosx上，x軸上にあり，３点P, Q, Rは一直線上に並び，PR ⊥ｘ軸です．
さらに，線分PT ∥ ｘ軸，PT＝１，Ｓはｍ上の点で，ST ⊥ x軸とします．

＜実施上の留意点＞

① y=sinx と y=cosx のグラフが同時に描かれたプリントを用意します．その際，点(1,0)は明示します（PT=1 を作図するときに1の長さが必要）．

また，ｘ軸とｙ軸の目盛り幅は，１対１ でなければなりません．
② 点Ｐは生徒に任意に打たせますが，45°<x<70° あたりに収まってもらうと実際的になります．
③ 接線mは，アナログ的に，つまり，定規で描くことが必須条件です．接線の公式計算によってmを正確に描いたプリントを用いれば，当然，ST=QR となりますが，本末転倒でありまったくナンセンスです．多少のズレはあったとしても，ほぼST＝QR であることを生徒に「確認」「体感」してもらうところに価値があります．