「平均の速さ」の行き先
小６で習う「平均の速さ」はどこへ向かうのでしょうか？
車で家を9時に出発して，12時に150km離れた公園に着きました．この間の平均の速さは，もちろん50km/h で計算式は，次のようになります．
数学を学ぶ際，ずっーとこの式（※の形）が付きまといます．
Ⅰ 流れの確認
小６ 平均の速さ
中２ 変化の割合（一次関数）
中３ 〃 （二次関数）
高２～ 平均変化率，微分係数，導関数（数Ⅱ微分～）
注：高２微積分の導入部分で登場するということです．数学を学ぶ上で，※と「縁」を切ることはできませんね．
Ⅱ 平均の速さをグラフで確認する（平均変化率）
速さは，移動距離を時間で割って求められます．つまり，位置の変化する割合です．
ここで，右図のように，時刻をt(横軸)，位置をs(縦軸)としたグラフ(st図)で，速さを確認しましょう．
なお，時刻tにおける物体の位置sは s=f(t) であるとします．
※で，このあとbをいろいろと変化させるために，bをxと書き換えた方がイメージしやすいでしょう(aはそのまま)．
この値は，右図上ではどう表されるでしょう．
平均の速さは，直線ｍ：PQの傾きであり，tanθ と一致しますね．直線ｍを割線（かっせん）とも言います．ナイフで曲線をカットするイメージか？
つまり，平均の速さ＝割線PQの傾き （ただし，st図の場合に限る）
ここで，aは固定して，xをaに近づけます(ここでは x>a とします)．
例：x – a = 3 , 2 , 1 , 0.3 , 0.1･･･(時間)
割線ｍ(つまり，平均の速さ)が変化します．右図では，割線が点Ｐを中心に時計回りに回転します．
この操作を細かく続けると，1秒間, 0.3秒間, 0.1秒間における速さになりますね．
もっと続けるとどうなりますか？
ついには，x=a における速さになりそうですね．
このときは平均ではなく，瞬間の速さ とすべきです．
また，ｍも割線よりも接線と言った方がベターでしょう（右図下）．
＜マトメ＞
① 平均の速さ（小６）は，高校の微分までつながっている
② 点Ｐにおける瞬間の速さ＝接線の傾き
Ⅲ 残った課題
ただし，これで終わりとはなりません．次の２つの疑問（難問）に答えなければなりません．
①先程，瞬間の速さを説明する際，x=a としましたが，実はこれは「まずい」のです．もう一度上の※２の式をみてください．x=a とすると，※２の分母はどうなりますか？０ですね．数学のルールでは，０で割ることはできないのです．
← この「０で割算不可」の説明はいろいろあります．
例：仮に，3÷0 が計算できるとして，その値をa とすると
3/0=a です．ここで両辺に0をかけると
3=a×0=0 ，よって，3=0
これは「おかしい」こと！
3 ぐらいならまだしも，1億でも同じ話
すると，100000000=0
つまり，1億円＝0円 !
これはさすがに「まずい」ですね
この話の原因は，3÷0 にあります．
つまり，0で割ることは数学では「ダメ」ということ！
②ゼノン（古代ギリシア人）の逆理
「矢は飛べない．なぜなら，瞬間において矢は静止している．どの瞬間も同じだから矢は位置を変えることはできない．したがって，矢は飛ぶことはできない」
※逆理（パラドックス）：普通の判断とは明らかに異なるのだが，それに反論する論拠が見つからないものをいう．ゼノンの逆理はいくつか伝えられているが，2500年過ぎた今日でも未だにパラドックスである．
ゼノンの主張によれば，瞬間において物体は静止している．したがって，つねに「速さ＝０」ということになりませんか．すると，先程のマトメ：瞬間の速さ＝接線の傾き が崩れてしまいます．さて，どう考えていったらよいのでしょうか．・・・いろいろな経緯を経て，極限という考え方にたどり着きました．
Ⅳ 極限へ
割線が接線へと変身していく説明は，図形的には理解できるにしても，これまでの計算原理からすると，無理筋な面があります．そこで”極限”という概念を取り入れて理論を構築しました．舞台は17，18世紀のヨーロッパです．
← 極限については，後日，ブログのテーマとして取り上げる予定です．0.999……=1 なども登場します．
＜補足＞
■ blogは200回を超えました．つきましては，テーマの設定をときおり過去blogから「リユース」していきます(本blogも含め）．「リ」にこだわってより深い内容にするよう内容のカイゼンに努めます．
■ 次回テーマは「9の次は『じゅう』だけどなぜ『10』と書くの？」です（予定）．
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