「角」を測るって、どういうこと？――弧度法の原点に立つ（その２）
高校生・大学生に「sin１とsin２はどっちが大きい？」とサラリと問いたずねて見てください．ケッコウ厳しい結果になりませんか？
同レベルの下の問はいかがでしょう．
■ 少なからずの高校生が「有名角三角関数値表」の丸暗記作業に走り，そばに立つ数学リーダーは「とにかく，三角関数値がスッと出てこないことには話にならない！」との姿勢です．
⇒ 論理の数学が年号暗記「火縄く(1789)すぶるフランス革命」と同列とは！
■ 高校生にとって，入試対策だけでなく，将来，理・工・情報・経済等を学ぶ上で三角関数を「自由自在に使いこなす」力量は必須です．が，現状は厳しく，特に，弧度法の理解が「貧弱」です．
少なからずの高校生・大学生は 弧度法を真に身に付けていません．
前回に続いて，克・弧度法 に向けて話を進めます．
「回転量」としての角
■ 前回（その１）の確認です
＜上図＞ 小３で２辺に挟まれた図形としての角からスタートします．頂点や辺と比べてつかみ所がない感じかと
＜下図＞小４で角とは，辺（直線）を，端点を中心に回転してできた形として扱う
角の大きさをどう測る？（どう決める？）
■ 角の大きさの測り方（決め方）
(1) 上図（小3）の場合・・・角の大きさをダイレクトに分度器で測る（読み取る）
⇒ 分度器の目盛りで示される角度数値は，通常，0°～180°の1°きざみ．関数の変数にするにはムリがありそう
(2) 下図（小4）の場合・・・角とは，辺を回転してできた図形と見なす（分度器を用いれば，(1)と同じ角の大きさが読み取れる）．そして，角の大きさとは辺の回転量と解釈できる．すると，回転量を「有益な関数(※)」の変数として扱うことが期待できる（※三角関数のこと）
■ そこで，回転量 についてもう少し突っ込んでみましょう．
■ 以上まとめると
中心O, 半径r の円において，半径OP（動径という）をOを中心に反時計回り（正の向き）に回転して半径OQになるとき，回転量（θ）を∠POQの大きさとする（時計回りの場合は，-θ ）．
その回転量を定める際，辺の大きさに制限はないワケで，一律に同じ長さ：r としてよい，つまり，回転量として扱う図形を「半径r の円」に限定できます．
さらに，すべての円は相似形であることから，今後，r = 1 （単位円という）として論を進めることが次第に多くなります．
■ 以上のことから，つかみどころの難しかった角の大きさ : θ とは，「動径の回転量とする」となりました．
次は，その回転量をどう「数量化」するか？ということになります．
上図で，θという回転量を決定づける「有益な変数」として，例えば，弦PQ の大きさはどうですか？
つまり，弦PQが決まるとθがピシャリと決まりませんか？ 図からは，弦PQ ⇔ θ という対応が見えるのですが・・・
Q２ 弦PQの大きさは，回転量:θ の決定には適当でないことを説明しなさい．
A２ 図１において，ある変数を定めることで，回転量の数量化を図ろうとする際，①大小関係の成立，②比例関係の成立 は最低限必要な条件です．
回転量 を 弦PQの大きさ としたとき
①大小関係・・・OKです
(∵) 実際，θ，θ’ に対応する弦の大きさをL1 , L2 とすると，明らかに，「θ＜θ’ ⇔ L1 ＜L2 」となります．
②比例関係・・・成り立ちません
(∵) 例えば，基本的な「弦の大きさが２倍になれば，回転量も２倍になる」も成り立ちません．
図１で，∠POR＝2θ であり，対応する弦はPR ですが，図より明らかに，PR＜PQ+QR＝2θ となり，回転量は2θ より小さくなります．よって，比例関係は成り立ちません．
■ では，角すなわち回転量を表すふさわしい”数学的要素”を図１で探してみましょう．考えるヒントはQ２ にあります．比例関係の維持が必須でした．
図１で，中心角∠POQの大きさ は 弧長PQと比例します（これは使える！）
角の大きさ：θ を弧長で表す
■ 図２の補助説明
単位円で話を進めます．「∠POQ に 弧PQ が対応している」と読んでもよいのですが，
むしろ
・「弧PQに，∠POQ が対応している」と読む（弧が決まるとそれに見合う角も決まる！）.
・弧長PQ＝∠POQ＝θ と書く（弧長：弧PQの長さ）
つまり，弧長は弧の長さ と 角の大きさを表す とします（弧度法とはよいネーミング）
■ 単位円で，弧長:θ = 1 の場合はかなり特別なケースです．実際にθを求めることができます．
①弧長：半周の大きさのとき，θ=180°
②弧長が半周のとき，その長さは 2π(パイ)r/2 =πr=π（∵単位円）
③以上のことから，
π(パイ)＝180° つまり， １＝180/3.14159･･･≓57.3°
（また，２≓ 115°， ３≓ 172°・・・）
■ 「弧長を角と見なす」ことに何らかのこだわりがあったのか，弧長にrad(ラジアン)という単位を付けて，1 rad≓57.3° などと書き，途中で「radは省く」というルールを設けたりしていますが，かえって混乱を招いている面もないわけではありません．
ここでは「弧長＝角」というシンプル原理で押すべきかと考えます．
その際は，弧度法を示した上の半円図とともに理解を浸透させたいものです．
特に，π(パイ)＝180°，３≓172°（180°弱でも可），１≓57°（60°弱でも可）
弧度法は60分法に比べてなぜ浸透しないのか？
■ （その１）でも触れましたが，60分法でも日常生活で角自体に触れる機会はまずない．ましてや弧度法は・・・
大谷選手の活躍もあって，１マイル≓1.61 km という単位換算ができつつありますが，１≓57.3° という換算結果は2数値が離れすぎている．実際，「この斜面の角は0.52 です」などと言われても・・・（0.52≓π/6=30°）．
60分法の元は360の約数が多いという背景があったようです（1年の365は約数がそんなに多くない）．
しかし，理工学の計算には，三角関数の微積分が不可欠であり，その際，60分法では対応できません．覚悟して弧度法を味方に付けましょう．
■ ３という数から連想される量はどんなものがありますか？
｛３円，３m，３km，３kg，３年・・・｝
足りません！これからは ３(約172°)を仲間に入れましょう！
＜補足＞
■ 「鬼門」三角関数は．相似比一定をベースにした小中高を貫く格好の学びです．
■ 次回は「数学用語アレルギー」です（予定）
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