(sinx)’=cosx の図形的理解

(sin x)’=cos x を体感しよう

公式により計算は一応出来るが,実のところ,意味理解は出来ていない生徒や学生は少なからずおり,微積計算でもしかりです.

微分係数 f'(a) は,定義により曲線 y=f(x) 上の x=a に対応する点Pにおける接線の傾きを表すのでした.つまり,右上図で,f'(a)=tanθ というわけです.
ちなみに,接線の英訳は,tangent です.

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たとえば,f'(3)=1

 曲線上で x=3 に対応する点の接線は,x 軸と45°の角をなす

さらに,a をx で置き換えたものが f'(x) です(→ このあたりの臨機応変さ・自由勝手さに苦しむ生徒もいます).したがって,f'(x) は,曲線上の点 P(x,y) における接線の傾きを表します.そして,f'(x) には,一般的に x が含まれます.

        例:y’=f'(x)=2x

微分の定義に基づいて y= sin x の導関数を求めると,複雑な計算が必要なのですが,確かに y’= cos x が導かれます(高校数Ⅲ教科書).

それにしても,「sinの微分結果がcos とは! 何とも不思議なコトだ」という思いを抱かれた方も多いのでは? この不思議感を払拭すべく,以下のように図形的解釈を試みました.

右図で,直線mは,y=sin x上の任意の点Pにおける接線を表しています.
← mは,画面では関数グラフソフト grapes を用いて正確に引かれていますが,実際は,定規を使用して手作業で接線を引きます(アナログ作業).


さて,この図から m の傾き = f'(x)=cosx となることを図形的に説明してみましょう.いかがですか?

右図で,Pは y=sinx 上の任意の点であり,m はPを接点とする接線です.
また,点Q,Rはそれぞれy=cosx上,x軸上にあり,3点P,Q,Rは一直線上に並び,PR⊥x軸です.
さらに,線分PT//x軸,PT=1,Sは m 上の点で,ST⊥ x軸,とします.

※ この図形的解説はオリジナルです(2015年ある会合でご披露.反応はあまりなかったですね.研修会でなく「会合」がよろしくなかったと自己弁明).

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<授業実施上の留意点>

① y=sinx と y=cosx のグラフが同時に描かれたプリントを用意します.その際,点(1,0)は明示します(PT=1 を作図するときに1の長さが必要).また,x軸とy軸の目盛り幅は,1対1 でなければなりません.
② 点Pは生徒に任意に打たせますが,45°<x<70° あたりに収まってもらうと実際的になります.
③ 接線mは,アナログ的に,つまり,定規と鉛筆を用いて描くことが必須条件です.接線の公式計算によってmを求め,正確に描いたプリントを配布してしまったら,本末転倒であってまったく意味をなしません.多少のズレはあったとしても,ほぼST=QR であることを生徒に「確認」してもらいましょう.

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