(sinx)’=cosx の図形的理解

(sin x)’=cos x を体感しよう

公式により計算は一応出来るが，実のところ，意味理解は出来ていない生徒や学生は少なからずおり，微積計算でもしかりです．

微分係数 f'(a) は，定義により曲線 y=f(x) 上の x=a に対応する点Ｐにおける接線の傾きを表すのでした．つまり，右上図で，f'(a)=tanθ　というわけです．
ちなみに，接線の英訳は，tangent です．

たとえば，f'(3)=1

曲線上で x＝3 に対応する点の接線は,x 軸と45°の角をなす

さらに，a をx で置き換えたものが f'(x) です（→ このあたりの臨機応変さ・自由勝手さに苦しむ生徒もいます）．

したがって，f'(x) は，曲線上の点 P(x,y) における接線の傾きを表します．

⇒ つまり，点x=x における接線の傾きです！

　　　　　　　　例：ｙ’=f'(x)=2x

微分の定義に基づいて y= sin x の導関数を求めると，複雑な計算が必要なのですが，確かに y’= cos x が導かれます（高校数Ⅲ教科書）.

それにしても，sinの微分結果がcos とは！何とも不思議なコトだという思いを抱かれた方も多いのでは？この不思議感を払拭すべく，以下のように図形的解釈を試みました．

右図で，直線ｍは，y=sin x上の任意の点Ｐにおける接線を表しています．
← ｍは，画面では関数グラフソフト grapes を用いて正確に引かれていますが，実際は，定規を使用して手作業で接線を引きます（アナログ作業）．

さて，この図からｍの傾き = f'(x)=cosx となることを図形的に説明してみましょう．いかがですか？

右図で，Ｐは y=sinx 上の任意の点であり，m はＰを接点とする接線です．
また，点Ｑ，Ｒはそれぞれy=cosx上，x軸上にあり，３点Ｐ，Ｑ，Ｒは一直線上に並び，ＰＲ⊥ｘ軸です．
さらに，線分ＰＴ//ｘ軸，ＰＴ＝１，Ｓはｍ上の点で，ＳＴ⊥ x軸，とします．

※ この図形的解説はオリジナルです（以前，ある会合でご披露．反応はあまりなかったですね．研修会でなく「会合」がよろしくなかった！）．

＜授業実施上の留意点＞

① y=sinx と y=cosx のグラフが同時に描かれたプリントを用意します．その際，点(1,0)は明示します（PT=1 を作図するときに1の長さが必要）．また，ｘ軸とｙ軸の目盛り幅は，１対１ でなければなりません．
② 点Ｐは生徒に任意に打たせますが，45°<x<70° あたりに収まってもらうと実際的になります．
③ 接線mは，アナログ的に，つまり，定規と鉛筆を用いて描くことが必須条件です．接線の公式計算によってｍを求め，正確に描いたプリントを配布してしまったら，本末転倒であってまったく意味をなしません．多少のズレはあったとしても，ほぼST＝QR であることを生徒に「確認」してもらいましょう．