必要(十分)条件って何?

〇は△のための何条件か?という問がありますが,”問題のための問題”となってはいないか,という疑問&不信を以前から感じてきました.順を追って話を続けます.

そもそも命題とは

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■ 命題とは真偽のつく文や式のことです.

「2+3=5」も命題に入りますね.

すると,数学教科書のどのページも命題だらけになります.そこで,少し絞ってみましょう.

真か偽か

■ 命題の典型は,p,q を条件として pならばq という形です.

これをp⇒qとかき,そのつど,真偽を判定します.

そして,「p⇒q:真,かつ,q ⇒ p:真」のときは,「p⇔q」と簡素化します.

例をいくつか 

(1) x²<1  ⇒ x<1  ()

x²<1 を解くと,-1<x<1  この範囲にあるxは,必ずx<1 となるので,上の命題は真となります. 

(2) 4辺の長さが等しい四角形があり,対角線が直交している ⇒ その四角形は正方形である () 

反例:ひし形もあるじゃないか!

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(3) 日本国民である ⇒ 都民である (

反例:埼玉県民もいるじゃないか!(埼玉県にする理由は特にありません.秋田県民でもokです)

算数で,p⇒q の形を探す

■ p⇒q 形式の命題は,高数A(1年次相当)で本格登場します.中数でもときおり顔を出しますが,見逃すヒトが多いかも.

■ さすがに算数教科書では見かけませんが,小3算数で近い形を発見.

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要するに,次のような主張です.

「円と半径を使ってできる三角形 ⇒ どれも(必ず)二等辺三角形になる

■ 上の記述で最大のpointとなる語句は,どれも です.例外(反例)が作れないことから,”どれも”の背景に,無限の概念が含まれていることが分かります.

小3生でも「不思議だな~」「ホント?」「もっと確かめたい」といった発言や表情をする子どもがいたら,数学リーダーはスルーしてはいけません.是非,立ち止まってその反応をみなで共有すべき ですね.

必要条件とは? 十分条件とは?

■ 定義は次のとおりです.

命題:pならばq について

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また,p⇔q のとき,pとqは互いに必要十分条件(同値)といいます.

■ 初見のヒトにとって,この定義はどんな印象を持つのでしょうか.

「翻訳の雰囲気・臭いがプンプンする.いくつかの例から理解していくしかないな.命名を逆に覚えたら悲惨だな」

こんな不安感を抱くヒト,いますよね.

例1 「n: 偶数」は「n: 4の倍数」のための何条件か?

解「n: 4の倍数 ⇒ n: 偶数」はです.

 したがって,n: 偶数 は,n: 4の倍数 のための必要条件です.

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例2 「都民である」は「日本国民である」のための何条件か?

解 「都民 ⇒ 日本国民」は.よって,都民であることは,日本国民であるための十分条件です.

■ 推測ですが,この「〇□条件」について,3割くらいのヒトは,どこか曖昧さと不安を抱えたママにしているのでは.

定義を思い切り単純化する

■ 「何条件か?」と問われると,少なからずのヒトは「どっちだったかな~.逆に覚えているかも・・・」とドギマギしますね.

そこで,以下のような提案をします.

1 p⇒q の真偽の判定こそ本質!← 命名ルールに惑わされず,真か偽かの判断を優先

2 定義文中で(qのための)という箇所は,ないこと(消去)にして命名を定着させる

 ← 英訳では「for~」という形容詞句で文の後半に出てくる.つまり,前段だけの訳で事足りる

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3 日常用語の「必要,十分」とはベツモノと割り切った方がよい

← 必要と十分の語句と,こじつけ的に絡ませる解説もあるが,やや無理筋

← あえて覚えるとすれば,の向きが必要」「矢(の向き)が必要」がお薦め

 

例3  次の□の中に,必要,十分,必要十分のうち適切なものを入れなさい.

(解答例では「~のための」をあえて省いています)

(1) 「カサが開く」は「雨が降る」のための□条件である.

 

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解  とにかく,真偽の判定が優先です.

①「カサ開く」⇒ 「雨降る」

②「雨降る」 ⇒ 「カサ開く」

当然,②がです.

すると,”(の向き)が必要“ですから,「カサ開く」は必要条件となります(「雨降る」は十分条件).

(2) -1<x<2 は,x<3 であるための□条件である.

解  とにかく,□条件に惑うことなく,真偽を判定します.

① x<3 ⇒ -1<x<2   

② -1<x<2 ⇒ x<3

②はです(①は,x=-5 などが反例).

「矢が必要」より,-1<x<2 は,十分条件となります.

 

(3) 自然数m,n について,条件「mとnはともに奇数」は条件「m+5n は偶数」のための□条件である.(’19 大学センター試験)

解  とにかく,真偽の判定です.

① mとnはともに奇数 ⇒ m+5n は偶数

② m+5n は偶数 ⇒ mとnはともに奇数

①はですね(証明までは不要かと.適当な例で確認する程度)

②は(反例:m=n=2など)

「矢が必要」より,「mとnはともに奇数」は十分条件となります.

<補足>

■ しつこいようですが,真偽の判定こそが本質であり,命名は枝葉部分です.少なからずのヒトが,その枝葉に翻弄されていることに長年,疑問を感じてきました.「p⇒q の真偽を判定しなさい」という出題で十分かと.

■ 次回のテーマは「隠れている無限」(予定)です.数学は無限を扱う学問であるという見解もあります.でも,授業で無限はあまり意識されていないようです.

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