“記号”を味方に!

「数学は記号の学問である」と言われています.確かに,数も記号,演算(+, × , y’ ・・・)も記号.だから,数学は世界共通”言語”なのでしょう.この記号を”敵”にしてはなりません.

「記号は”約束”にすぎない」 との声?

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■ 図形の問題等で,補助線1本付け加えるだけで証明が即,解決する場合がありますね.

図は,三角形の内角の和が180°の証明です.補助線Lを引くだけで一気に解決します.

それに比して,記号の意味や意義などは,しょせん,約束ゴトであり,本質ではないのでは?とのご意見もありそう.

しかし,123×456 を和算式で計算してみてください.いかがですか.

 

■ 今日,小6生のほとんどは,123×456 を計算することができるでしょう.しかし,200年ほど前まであれば,日本人のほとんどにとってムリ,というか,そもそも計算を必要としない日常であったのです.

■ 当時,算術の達人がいても,上記の計算は「超難問」だったでしょう.なにしろ,0の概念がなく,また10進法に基づかない漢数字の使用ですから.

■ この例は,すぐれた記号 ⇒ ヒトビトの思考を深めるツールになりうる を示しています. 

すぐれた記号たち・・・改めて”感心”します

■ 記号の意義

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次の2点を挙げます. 

①思考の対象が,簡潔な記号を使用することで一義的に限定され,他とも共有することで思考がより深まる ⇒ 「記号の記号化」が進展する

②記号を用いた公式は,簡潔で明白な世界共通の文章である(少しオーバー?).

■ いくつかの記号で確認しましょう.

(1) ×記号

■ 4の5つ分:4+4+4+4+4 は長いので,これを 4×5 とする,ということ.

アルファベットx と間違いやすく,ヨーロッパでは「・」が普及しているようです.

■ この記号により,九九が登場します.

ただ,意味も分からず九九表を「棒暗記」する・させているシーンもありますね.

かけ算の本家はたし算」という根本をタイミングよろしく確認していきましょう.

高校数学「場合の数」で,和の法則と積の法則を扱いますが,これらをベツモノとして受け取っているヒトが少なからずいます.残念

<乗除は加減に先立つワケ

Q1  8+2+2+2+2+2 を計算しましょう.

Q2 2+2+2+2+2 は長いですね.普通,どのように書きますか?

 8+2+2+2+2+2 を短く書いてください.

Q3 8+2×5 = 10×5=50  のおかしいところはありませんか?

  

(2) 分数記号

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■ 2/3 はよくよく考えられた表記だと感じます.何しろ,二つの意味を同時に示していますから.

①分割分数・・・2÷3という操作

②量分数・・・約0.67 という数量

■ 「なるほど感」のpointは,”2と3で,新たな数:2/3 を創っている“という視点を理解することです(子どもに伝える必要はありませんが)⇒ 後に.√3 や0.999・・・etcの導入の際も,”数を創る”という同じ姿勢で対応できます.

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分数:やっぱり難しい

(3) Σ記号

■ Σ(シグマ)は,加算の記号です.1+3+5+7 程度だと意味ないのですが,数の個数が20,50,100,さらには,無限個になる場合にはその“御利益”が実感できます.

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※ 和(sum)の頭文字:sに対応するギリシャ文字がΣということがこの記号の由来とか.

もし,日本が数学発展の中心だったならば,今頃は,Σではなく,「和」という文字を当てていたかも(ないか!).

■ Σ記号については,”分配法則”や”定数倍法則”などの性質がラクに証明され,それらが威力を発揮します.実際,Σ記号抜きにして,微積分の理論構築は困難でしょう.

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■ 一般項をゲット ⇒ その一般項にΣ記号をかぶせると,第n項までの和が機械的に求まります.階差をとってみるなどという手間が不要となります.

疑問のある記号

■記号=すべてよろしい というワケでもありません.基本の基である「-」記号など,その代表です.

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■ 「-」について

①演算(operation):”引く”,②符号(sign):負 の二つの意味があって,しかも,同時使用されていますので,これは習う方も教える方もタイヘンです.

■ 昭和時代の教科書(中1)はかなり大ざっぱでラフな記述がなされています.今の教科書はかなり気を配っての解説となっています.

5-(-3) は,「借金3円が引かれる=3円得する」の意味.よって,5-(-3)=5+(+3) となる.ここで,カッコ前の+は,省いてもよいとすると,5-(-3)=5+3 と書ける(ここまでのところ,+はsignマークです).

こんな感じの解説ですが,かなり苦しい説明となります.結局,-や+記号は,演算と見ても符号と見ても,ルールに従っていれば”結果オーライ”という感じでしょうか(妥協!).

←小学校で習った 5+3 の+は,演算ではなく符号(sign)だった?そんなハズはないですよね.どう整合性をとるのか・・・ 

便利すぎる記号には要注意

■ 記号の扱いでもっとも気になるのは類似している記号のよさを逆手にとって,論理を軽視(or無視)して論を進めているケースです.それも,小中高を通して算数・数学の集大成とも言うべき「微積分」で散見されますので,ナントモ情けない限りです.

 

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■ 「面積を求めるには,逆微分=積分を用いる」⇒ この結論の大元こそが

   微積分の基本定理

です.どの教科書にも載っていますが,やはり解説は難しいです.興味を示す生徒もごく少数でしょう.

だからといって,まったく概念の異なる2つの記号が似ている(⇒先人たちの配慮!)ことを以て,解説のスルーはよろしくありません.一事が万事,”困難スルー指導“に陥ります.

<補足>

■ 記号の使用の際は,創った・作った先人に「思い」をいたしましょう.

■ 次回テーマは,「増減表の解釈」(予定)です.微分で増減表を作り関数のグラフを描きます.この増減表ですが,ケッコウ奥が深いのです.

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