重心はなぜ一つか

重心をめぐるあれこれの話題は,かなり「スジ」のよい数学導入ツールになります!

重心とは

■ 物体の各部に働く重力をただ一つの力で代表させるとき,その作用点を重心Gといいます.(小学館デジタル大辞典による)

 

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重心は一つ

■ 高校生や学生に「重心は一つしかない.なぜ?」と問うと,大半がキョトンとした表情をします.

「聞いたことがない」「聞かれたことがない」「考えたこともない」.中には「そんなことを考えてもテストに出ない」という反応も.

Q1 重心は一つのみ存在することを証明してください. 

 

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A1 (上図)ある物体の重心が2つあったとし,それらをG₁,G₂ とする.

物体の重さをWとすると,重心G₁,G₂において下向きの力がそれぞれWはたらいている.

(下図)G₁,G₂ の中点をMとすると,Mにおいて下向きの力がはたらいているが,その合力は2Wとなる.

これは物体の重さがWであることに反する.したがって,重心は一つしか存在しない.

重心と存在定理

■ 存在定理・・・中間値の定理&平均値の定理がその代表ですが,もう少しハードルを下げて適用例を示したいもの

※存在定理:数学的対象の存在は保証する定理のこと(求め方は問うてない).例:5次方程式には,代数学の基本定理より解が存在する(しかし,解の公式がないため,計算式で解を必ず求められるとは限らない). 

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■ 厚さは無視できる板状の物体Sがあります.Sの重心Gを求めましょう.

 

Q2 図のように,Sの端点でヒモを吊し,その鉛直線をL₁とします.

(1) SはL₁により左右S₁,S₂に分かれますが,それぞれの重さは等しくなることを説明してください.

(2) S全体の重心をGとします.GはL₁上にある(存在する)ことを説明してください. 

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A2 

(1) ヒモで吊して静止したときの鉛直線がL₁であるが,S₁,S₂それぞれの重さが一致しないとすれば,L₁は静止せずに動くはず.よって,S₁,S₂の重さは等しい.

(2) S₁,S₂それぞれの重心をG₁,G₂とすると(1)の結果から

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G₁,G₂にはたらく力(重さ)は等しい.

線分G₁G₂の中点をMとすると,S全体の重さがMにはたらいているので,MはS全体の重心Gである.

ヒモで吊してS全体が静止した ⇒ Mを作用点としてヒモで吊り上げバランスがとれた 

つまり,Mは重心になる.重心は一つしかないので,M=G である.

したがって,重心Gは,ヒモの延長である鉛直線L₁上に存在する

(注) M=G より,Gは簡単に作図できそうだが,任意の図形でG₁とG₂を定めることは自明ではなく,この段階でいえることは,”重心Gは鉛直線L₁上に存在する“までです.

Q3 Sの重心Gを作図してください.

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A3 図のように,別の端点からSをひもで吊してその鉛直線をL₂とする.先述したように,重心Gは,①L₁上に存在,②L₂上に存在 

⇒ これらを満たすのは,L₁とL₂との交点のみであり,交点が重心となる.

なお,面白い(不思議?)のは,Gを求める際,吊す作業は2回で済む.つまり,3本以上のヒモは不要なことです.理由は「Gは一つしか存在しない」からですね.  

かろうじて見える重心・見えない重心

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■ 上図は,山形県北部にある道の駅で購入したヤジロベエ(竹製トンボ)です.くちばし1点でバランスがとられていますので,くちばし先端部が重心です.

⇒ この場合,重心は,トンボ体内というより,体内と体外との境界部分に存在する例になっていますね.

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■ では,50円玉を見てください.重心はどこにありますか?

⇒ もちろん中央の穴の中心です.

あるのでしょうが,見えません

⇒ その重心で全体を支えることもできません.

何ともいらつかせる重心ですね.

<補足>

■ 「重心が一つしかない」ことの解説ですが,自分としては”オリジナル”と思っています.あまりにも当然すぎて気にしないヒトが多いでしょうが.

■ 背理法や存在定理を扱う際,大上段に構えての指導展開がフツーですが,日常生活の中でごく自然に誘っていくことも重要ですね.重心は格好のテーマです.

■ 次回テーマは「三角関数に罪はない」(予定)です.政治家が議会で,数学,その中でも三角関数を取りあげるケースがままあります.つい先日も.

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