重心はなぜ一つか

重心をめぐるあれこれの話題は，かなり「スジ」のよい数学導入ツールになります！

重心とは

■ 物体の各部に働く重力をただ一つの力で代表させるとき，その作用点を重心Gといいます．（小学館デジタル大辞典による）

 

重心は一つ

■ 高校生や学生に「重心は一つしかない．なぜ？」と問うと，大半がキョトンとした表情をします．

「聞いたことがない」「聞かれたことがない」「考えたこともない」．中には「そんなことを考えてもテストに出ない」という反応も．

Ｑ1 重心は一つのみ存在することを証明してください． 

 

重心と存在定理

■ 存在定理･･･中間値の定理&平均値の定理がその代表ですが，もう少しハードルを下げて適用例を示したいもの

※存在定理：数学的対象の存在は保証する定理のこと（求め方は問うてない）．例：5次方程式には，代数学の基本定理より解が存在する（しかし，解の公式がないため，計算式で解を必ず求められるとは限らない）． 

Ｑ2 図のように，Ｓの端点でヒモを吊し，その鉛直線をL₁とします．

(1) SはL₁により左右S₁,S₂に分かれますが，それぞれの重さは等しくなることを説明してください．

(2) S全体の重心をＧとします．GはL₁上にある（存在する）ことを説明してください． 

Ａ2 

(1) ヒモで吊して静止したときの鉛直線がL₁であるが，S₁,S₂それぞれの重さが一致しないとすれば，L₁は静止せずに動くはず．よって，S₁,S₂の重さは等しい．

(2) S₁,S₂それぞれの重心をG₁,G₂とすると(1)の結果から

G₁,G₂にはたらく力（重さ）は等しい．

線分G₁G₂の中点をMとすると，S全体の重さがMにはたらいているので，MはS全体の重心Gである．

ヒモで吊してS全体が静止した ⇒ Mを作用点としてヒモで吊り上げバランスがとれた 

つまり，Mは重心になる．重心は一つしかないので，M=G である．

したがって，重心Gは,ヒモの延長である鉛直線L₁上に存在する

(注) M=G より，Gは簡単に作図できそうだが，任意の図形でG₁とG₂を定めることは自明ではなく，この段階でいえることは，”重心Gは鉛直線L₁上に存在する“までです．

Ｑ3 Sの重心Gを作図してください．

Ａ3 図のように，別の端点からSをひもで吊してその鉛直線をL₂とする．先述したように，重心Gは，①L₁上に存在，②L₂上に存在　

⇒ これらを満たすのは，L₁とL₂との交点のみであり，交点が重心となる．

なお，面白い（不思議？）のは，Gを求める際，吊す作業は2回で済む．つまり，3本以上のヒモは不要なことです．理由は「Gは一つしか存在しない」からですね．　 

見えない重心

■ 上図は，山形県北部にある道の駅で購入したヤジロベエ（竹製トンボ）です．くちばし先端部Pでバランスがとられており，点Pを支点といいます．Pを重心と判断しては早とちりです．

⇒ この場合，重心Gはトンボ体外，Pのやや真下（鉛直線上）付近に存在します．

⇒ 重心Gが支点Pの上（一致も含め）に存在すると，点Pで物体全体をバランスよく支えることはできません．ヤジロベエを逆さにして試してください．

※本blog「竿灯をコントロールできるワケ」を参照ください．

＜補足＞

■ 「重心が一つしかない」ことの解説ですが，自分としては”オリジナル”と思っています．あまりにも当然すぎて気にしないヒトが多いでしょうが．

■ 背理法や存在定理を扱う際，大上段に構えての指導展開がフツーですが，日常生活の中でごく自然に誘っていくことも重要ですね．重心は格好のテーマです．

■ 次回テーマは「三角関数に罪はない」（予定）です．政治家が議会で，数学，その中でも三角関数を取りあげるケースがままあります．つい先日も．

■ にほんブログ村のバナーをclickしていだだければ幸いです(最初:左，次:右).