高校生との会話

「そうか,中間試験なんだ.数学の範囲は?」「資料の分析で,平均値や相関,標準偏差なんかが出そう」「ところで,その標準偏差ってケッコウ計算が面倒だけど,結局,何を表しているの?

・・・

dy/dx ① は “yをxで微分する” という内容(⇒ y’と同一)を表しています.”ディーy , ディーx” と上から読み,dy/dx:一体としての操作記号ですが,いつのまにか,dy÷dx となっていませんか?

「僕(小6)が見つけた”中おち算”」・・・最小公倍数&最大公約数のゲット

算数・数学自由研究一般についてですが,昨今,統計的な調査や観察に関する応募作品が多くなり,率直に言ってやや食傷気味です.本テーマはその風潮と一線を画して教科書が出発点です.

比例は極めて重要な変数間の関係です.テストでは小中高を通し頻出され,また,自由研究の作品でも,計算自体は比例という例が少なからずあります.

おそらく〇%のヒトはカン違いしている”常識”3例(理数編)です.「まさか!そんなふうに解釈しているヒトなんていないよ!」と断定せずにまずはお耳を傾けてください.

算数数学で課題を解くとき or 論を展開するとき,見方考え方がフル回転しますが,最近,気になる(正直に言うと”気に障る”)ことが増えました.

竿灯を操る(名手の場合ですが)・・・重心が主役です.重心のイメージとして,①モノの重さが集中する1点,②ヤジロベエの支点のように全体バランスが取れる1点,③2中線の交点(三角形の場合)…などが挙げられましょうがさて・・・

背理法あれこれ ②誤読(素数の無限性)

前回に続いて背理法の2回目です.背理法はいかにも数学らしい証明法ですが,その際,背理法の核心部分を浅読みor誤解しているケースも散見できます.

背理法あれこれ ①浅読み(√2…無理数)

背理法はいかにも数学らしい証明法です(どこか釈然としないながらも渋々ナットクしている向きもアリ).その際,背理法の核心部分を浅読みor誤解しているケースも散見できます.

残念な”即,計算”

「算数・数学 ≓ 計算 」①と理解しているヒトはかなりおります.もちろん①を全否定はしませんが,即,計算に走る姿には大いなる疑問を感じます ⇒ 一つのカイゼン策が「計算前の見当付け」です.

3進法と天びん

2進法や10進法と比して3進法は影が薄いです.でも,天びんと絡ませるとなかなかの教材となります.

“部屋割り論法”がここで登場する

「n個の部屋に(n+1)以上の客を泊めようとすると,相部屋(2人以上の客が入る)が必ずできる」という体験を基にした原理が”部屋割り論法”ですね.引き出し論法,鳩ノ巣原理とも言います.

点と直線の距離公式⇒ ÷√a²+b²登場のワケ

点と直線の距離公式(以下,公式)は,受験数学では必須ツールですが,根号・絶対値付きの分数形式でゴッツいイメージです.特に,突然√a²+b² の登場に抵抗感がありそうです.

安直すぎる比例解説

ともなって変わる2つの量 ⇒ 即,比例! こんなパターンがスッカリ定着し,算数・数学リーダーは「早く比例計算に導きたい」ようにさえ見えます.計算の前に「観察・思考」があるべきです.

数学 vs 物理

学ぶ上で「物理にあって数学に欠けていること」ってありますよね(もちろん,その逆も).例を挙げてその「欠く点」のカイゼンを図りたいと思います.

正四面体が(ちょっと小さい)正三角形の壁穴を通過する!

サイズ的にはムリなのに通過できる不思議な現象.10数年前「数学セミナー」でとり挙げられました.証明もさることながら,不思議感を味わいたく,ケッコウ精密な教具を作成しました(動画付)

何のための式変形か?

同類項をまとめる,平方完成する等々の式変形は,算数・数学の基礎であり,身に付くまでの反復(ドリル)も必要です.しかし「式変形のための式変形」レッスンのドツボにハマってしまうことも.

積分定数は “付録”か?

積分計算には,積分定数Cが付きもの.ただ,実際のところ,積分定数は”形式的存在”のイメージが強く,付録・お飾り といった印象かと.この際,再認識をしましょう.

ベン図を4つの円で描く?

ベン図は集合の範囲の見える化に必須の便利なツールです.円3つまではスムーズに描けるのですが,4つ以上となると…

“有理化”は1通りしかないのか?

√5 など根号で示される無理数に係わる独特の変形:有理化(rationalization)を話題にします.

わが街の犬,最小値を知っている!

以前,街中で見かけた光景です.話の展開に多少(かなり)ムリ感もありますが,お付き合いください.

球の体積公式,どう扱う?

球の体積公式(以後,球Vとする)は,中学生には「証明はしない・できないが,計算はさせる」という何とも扱いにくい公式ですね.

「円錐の斜平面cut ⇒ だ円」を体感する

2次曲線(放物線・だ円・双曲線)は,(直)円すいを平面でcutした際,その切り口として現れます.直円すいを平面でcutします.今回は,だ円に焦点を絞ります.

責(攻)められる三角関数

過日,ある国会議員が財務金融委員会で「三角関数より金融教育を」と発言しチョット話題を呼んでいます.

ナヌッ!?とくる問題

一瞬,ナヌッ!とくる問題ってありますね.twitter上で見かけた例やオリジナル問題から,いくつか紹介します.解く・解ける に留まらず,先に繋がることを期待します.

“無限”は小2で登場!

無数・無限は数学(or哲学)で扱う大テーマの一つです.算数・数学についていろいろと論を展開する際,無数や無限との出会いをどう扱っていますか?

整数方程式の”源流”

整数方程式 5x-13y=1 などは,ごくありふれた問題で,解くことも「楽勝」でしょうが,少し立ち止まってみましょう.

スケートの刃に同情 ⇒ 衝撃力!

北京冬期五輪が始まりましたが,アイススケートの刃に”同情”します.もの凄い力が,あの細い刃にかかっているのでは?と想像するからです.

サイコロはフェアか?

20年近く前,身近な教具であるサイコロをしげしげと見つめ,再認識いたしました.ある新聞記事をみたことがきっかけです.

“グラフ交点の求め方”:やや無神経?

グラフの交点を求めよ⇒それっ!連立方程式を解けばよい! とやや条件反射的に計算作業に取りかかる向きがあります.引っ掛かるところを紹介します.

内積って何だ?

内積については,ひたすら問題解きのための重要ツールとして扱っているヒトが少なからずいるのでは? ナットク感もナルホド感もないとすれば,モッタイナイ話.

13日(金)は年何回ある?

“学習の進んだ子ども”の第3弾です.ある日「今日は13日(金)だね.年間に何回くらいあるのかな.ない年もあるのかな」とつぶやいたところ,数日後,T君(当時高1)がレポートを提出してきました・・・

暗号解読:スパコンで素因数分解は”一瞬”か?

号アルゴリズムは,桁数の大きい数の素因数分解が難しいことをベースにしています.しかし,スーパーコンピューター富岳( ‘21.6現在,世界一の性能)にとって,素因数分解などまったく問題にせず,”瞬殺“解答となるのでは? 

あみだくじ,重複しない?

(室町時代)からあるクラシックくじです.ここでは,①ゴールは重複しないワケ,②ゴールに合うくじの作り方 について考えてみましょう. 

鈍角三角形面積 ⇒ Mさん(小学生)のナットク法

よく知られている三角形の面積公式は,鈍角三角形でも成り立ちますが,どこかシックリしないヒトもいます.その理由は「高さが底辺から離れている」ことに起因していませんか?小学生Mさんがその解決(解説)に正面から向き合いました.

このaは定数,変数どっちなんだ!

簡単な1次関数:y=ax について.yはxの関数ですから,x,yともに変数,aはxの係数ですから定数(扱い)です.しかし,コトはそんなに単純でもないのです. 

たかが”植木算”

ご存じ”植木算”ですが,中身は,見た目よりあります.深さ・奥行きもなかなかです.

残念な”面積計算

小4で面積を扱って以降,算数数学で面積計算は,”日常的”であって入試の”花形”でもあります.しかし,極論になりますが,花形も大学入試までです.面積はどこへ行ったのでしょう?

感染率拡大緩和 ⇒ どのカーブ?

 ”感染者数 高止まり”,”感染率拡大緩和” etc ・・・どんな意味でしょうか.ヒトにより微妙な解釈の違いもありそうです.微分まで持ち出してみました.

公式と”密”に!

公式は論を進める際のツールで,活用により時間と思考の節約になります.その際,数学=公式,公式=暗記 となったら,「悲劇」です.

”テスト”にメッセージを込める

テストの定義はさておき,日常のテスト~入試まで,およそテストと呼ばれるその時間内における受験者の集中力は凄いモノです.これを「見逃す」ことはもったいないですね.

”攻める”復習!

復習とは”一度学習したことを再度勉強すること”,”おさらい”という意味で,十分理解している子供にとっては,不要でしょう.したがって復習から受けるイメージは,どちらかといえば,”後ろ向き”かも.そこで・・・発想を変えましょう.

y’:意味わかんないが計算はできる

微分も積分も毎日,必死で計算しているんだけど,ホントは意味がわかっていないんだ』ある工学系学生の声です.この「意味味理解なしの計算」については,思い当たるところ多々あります.原理はわからなくても計算はできる例として微分を取りあげます.

スッキリ感 のない答え

解答を見て「一応,理解はしたつもりですが,実のところ・・・」の例をいくつか紹介します.

数学的思考“なるほど感”

「主体的・対話的で深い学び」・・・欧米で見られる授業形態(思想)のいいとこ取りをするという解釈をしています.まったく異論はありません.その一方で,教材自体への関心がきわめて低調である空気に危機感を覚える昨今です.中核となる数学的思考を取りあげます.

折り紙の”折る”を探る

折り紙は,英訳でもorigamiです.日本独特の文化でしょうね.この折るという操作(operation)に数理の焦点を当てます.

全国学テ からの「直球」問いかけ

全国学テ(全国学力・学習状況調査)が2007年から計13回実施されてきました(20年は中止).同調査を巡ってはいろいろ議論のあるところですが.算数・数学で問われた内容・結果に「唸ってしまう」ことしばしばありました. 

平均の速さの行き先は

時速60kmなど,平均の速さは小6で習います.自転車や車,電車などに乗る経験,あるいは,動くもののスピード表示を見る機会も多いことから,分かりやすく計算もやや楽な分野です.で,その「先」はどうなるでしょうか.

かつ(and) のデビュー

論理用語の代表例の一つ「かつ(and)」は高校数Ⅰで習いますが,その教科書デビューは意外と早いです.

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