（桁数の長～い）かけ算の処理
突然ですが，PCや電卓もない時代だとして
3486784401×1594323÷847288609443 （※）
を筆算で計算してみましょう．実際に作業し出すと，トンデモナイ計算であることが分かります．
けた数が大きいので”天文学的”数計算とされる一例です（ → 星間の距離など求める際，天文学ではフツーに扱う）
そこで，16c，17cに活躍した偉人たちの思考をなぞりたいと思います．
その基本は ↓
かけ算を足し算に変換する
■ A国では，数が下の図で示された{1～19683}の10ヶしかないとします．
Ｑ1 このとき，
(1) 729×27 (2) 19683×243÷6561
を計算しなさい．
Ａ1 まず，準備から
a（1以外の正の数）をn回かけるとき，aを底(base)，nを指数，積全体の値を指数関数値(以後，値)といいます．なお，n=0 のときの値は1と約束します．
A国の10ヶの数は，a=3，n=0～9のときの値10ヶを選んだものです．
このとき，次の計算例から重要な性質（指数法則）が導かれます．
Q1(1)(2) に戻りましょう．
■ 冒頭の問題
3486784401×1594323÷847288609443 （※）
は次のように答が求められます．
■ このように，指数関数値の一覧表が手元に用意されていれば，一覧表内のかけ算・割り算の筆算作業から解放されますね．
■ ここまでの計算原理をまとめましょう．
指数法則の主張は強烈です．指数法則は，かけ算をたし算に，割り算をひき算に変換する画期的な式・ideaです．
⇒ ただし，ここまでの話は，A国内でのみ通用する話（底が3）で，値も{1,3,9,27･･･}という”飛び飛び”です．
①当然，底は3以外もあるはず．底として使用頻度が高い数は？
②たとえば，底が3で，値が11のときの指数はどうなるのか？ 2と3の間だと考えるが･･･
等々の疑問があるでしょう．
① ： 1以外の正の数であればすべてokです．よく使用される底としては，10とe（超重要定数でネイピア数という．約2.72）が挙げられます
② ： 約2.18 （32.18≓11）．指数関数値が飛び飛びにならない（→「連続」という）ように，当時の数学者たちがルール（定義）を創り上げました
※なお，指数関数（y=ax）の逆関数を対数関数といい y=logax と書きます．カタチは変えてますが，実質，両者は表裏一体の関数です．
例：32.18 ≓ 11 ⇔ 2.18 ≓ log311
■ 本テーマの背景を述べます．
■ 時は大航海時代(15c～17c)．ヨーロッパ諸国が，富を求めて地球規模の航海活動を展開しました．
その移動手段は船です．しかし，海上には目印もなく，当然，GPSもありません．ほんの少し進行向きがずれると，目的地から遠く離れ食料が尽き遭難に至るなど，海難事故が多かったのです．また海賊もいたでしょうから．
一攫千金を目指した命がけの挑戦だったと想像します．
■ その際，航路を決める重要な原理が三角法であり，三角関数が駆使されました（それも10桁以上の計算精度が必要）．
■ 制限時間内で解くことを強要されたた天文学者や”計算プロたち”（いたらしい）の苦労は並大抵ではなかったかと．PCどころか電卓もない時代にひたすら紙と鉛筆で･･･
天文学者を救ったネイピア
■ このような窮地を救ったのが，ジョン・ネイピアです．1614年，ネイピアは20年の歳月をかけて，三角関数の対数（※）を8桁の精度で計算可能にした「対数表」を世に出したのです→ トンデモナイ計算の克服
※対数関数：指数関数の逆関数（表裏の関係で同一と見なしてよい）
■ 天才数学者ラプラスは
天文学者の寿命が2倍になった
とネイピアの功績を賞賛しました．
なお，対数表に基づく計算結果は，基本的に近似値（かなり精度の高い）になります．
※実生活で扱う数値はまず，近似値です．正確な数値を必要とするのは，入試等のテストぐらいですね．
＜補足＞
■ 参考blog：「海難から人々の命を救った数学－対数の発見」(和から株式会社）
■ 次回テーマは「悪評プンプンの積和公式（三角関数）の名誉挽回」（予定）です．
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