循環論法･･･悩み出すとキリがない？
循環論法･･･漢字も難しく，見るからに理屈っぽい内容．受験を控えた高校生はもちろん，数学教育系学生もあまり興味を示さないテーマでしょう
⇒ 高校生：「どうせ入試には出題されない」，大学生：「協働的な学びのテーマになじまない」
■ 循環論法とは･･･ある結論を証明する際に，その結論自体を前提として用いる論理の誤りをいいます．
例：「日本国憲法は最高法規である．なぜなら日本国憲法第10章第98条に最高法規であると記載されているから」（参考 AI回答）．
■ 上記の日本国憲法の解説は，「堂々巡り」であり，数学の世界では認められない論理で，循環論法になっています．
■ 同じような例を数学で探してみましょう．
■ ある高校生が，中学校数学で学んだ「円において，直径に対する円周角は90°である」ことを次のように証明しました．
＜証明＞
Q 上記＜証明＞について疑問点もしくは誤りを述べてください．
A 正弦定理の証明は概略，次のとおりです．
※で中学数学「直径の円周角は90°である」を明示（引用）しており，その箇所は，証明の核心部分です．
このように，正弦定理を用いて「直径の円周角は90°である」を主張することは，論理の堂々巡り，すなわち，循環論法ということです．
もう一例あげます．
教科書にも堂々と載る循環論法
＜何が問題なのか＞
上記①は，sinθ＜弦AB＜弧AB(=θ) で説明がつきます．
②はどうですか？ 図から弧AB(=θ) ＜tanθ と見えますが，その根拠を示す必要があります．
⇒ よくやる手：面積比較を用います．
扇形OAB＜直角三角形OAT は必ず成り立ちます．
⇒ 実際に，置換積分を計算すると，sinθやcosθ等々をフル活用します．
ということは，
⇒ 三角関数の微分積分では，上述した最重要定理 「θ→0 のとき，sinθ／θ→1」を用いている
例えば，(sinθ)’＝cosθ の証明には最重要定理が必須であり，積分は逆微分なのでやはり同定理は当然必須
⇒ 全体をトータルで見たとき，循環論法と指摘される状況にあります
＜マトメ＞
最重要定理を用いないベツ証明の構築で循環論法を克服できそうですが，高校数学の範疇（レベル）外とも言えるので，現行の対応で「お茶を濁している」感じがします．
※（参考YouTube） 「予備校2.0」さんの「脱・循環論法」は 歯切れよい解説が見事です．
＜補足＞
■ 冒頭でボヤキましたが，循環論法などしつこく追究することは，思考力アップにつながります．
しかし，なぜ「ワカモノ」は興味関心を示さないか？
⇒ 主因：入試に出題されないから
なぜ入試に出題されないか？
⇒ マークシート方式になじまず，記述の場合でも採点が大変
結果，ワカモノ一般の思考力は昭和時代の方が「上」だと判断します．
■ 次回テーマは「中学生もわかる不定方程式（第2弾）」（予定）です．
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高校数学なので条件付きですが、循環論法は無いと思います。
条件として、「円周の長さ」は存在するものと仮定する。更に、円に内接する正多角形と外接する正多角形の面積を考えることにする。半径 r の円を考える。何段階かに分けて話をします。ここでは、弧度法は使わず角度を用いる。
第1段階。中心角 360°/n で円周を n 等分割して折れ線近似を行う(高校の話なので等分割)。二辺の長さが共に r の二等辺三角形の底辺の長さの半分は
r・sin(180°/n)
なので、この二等辺三角形の底辺の長さは
2r・sin(180°/n)
である。この底辺の長さは、円周を n 等分したときの弦の長さである。
すると、円周の折れ線近似は
n・2r・sin(180°/n)＝2r・n・sin(180°/n)
になる。この折れ線近似で n→∞ としたときに極限が円周の長さになる。今、「円周の長さ」は存在すると仮定しているので、この極限は存在し、極限値は「円周の長さ」になる。即ち
2r・n・sin(180°/n) → 円周の長さ 2πr (n→∞)
となる。特に
n・sin(180°/n) → 円周率 π (n→∞)
がいえた。第1段階終了。
(続く)
昨日(2026年1月21日 16:25)の続き
第2段階。面積を考える。円に内接する正 n 角形の面積を考える。これは、頂角 360°/n で二辺の長さが共に r の二等辺三角形の和になる。この二等辺三角形の底辺の長さは
2r・sin(180°/n)
であった。高さは、r・cos(180°/n) なので、三角形の面積は
r・cos(180°/n)・2r・sin(180°/n) ÷2 ＝ ( r^2 )・cos(180°/n)・sin(180°/n)
で、内接正 n 角形の面積は、n 倍して
( r^2 )・cos(180°/n)・n・sin(180°/n)
になる。第2段階終。
第3段階。次に、円に外接する正 n 角形の面積を考える。これは、頂角 360°/n で高さが r の二等辺三角形の和になる。このような二等辺三角形の底辺の長さは
2r・tan(180°/n)＝2r・sin(180°/n)・sec(180°/n)
である。ここで、sec は正割で、cos の逆数である。三角形の面積は
( r^2 )・sec(180°/n)・sin(180°/n)
で、外接正 n 角形の面積は、n 倍して
( r^2 )・sec(180°/n)・n・sin(180°/n)
になる。第3段階終。
(続く)