円面積，大きいのはどっち？
先日，佐藤学氏（畿央大学教授）から「不思議な算数」（小西豊文著，学術研究出版）を紹介いただきました．
■ どのページを開いても子どもから大人まで，日常の生活に潜む数理の世界に引きずり込まれること確実です．
■ 今回は「不思議～」から得た題材をヒントにして，若干の一般化を図ってみました．
Ｑ1 上図で，大小の円はそれぞれ正方形に内接しています．このとき，大の円の面積S1と小の円4ケ分の面積S2を比較してください．なお，最小正方形の1辺の長さは1とします．
① S1>S2 ② S1=S2 ③ S1<S2
Ｑ2 上図で，大小の円はそれぞれ正三角形に内接しています．このとき，大の円の面積S1と小の円4ケ分の面積S2を比較してください．なお，最小正三角形の1辺の長さは1とします．
① S1>S2 ② S1=S2 ③ S1<S2
正解は
A1 A2 ともに，② S1=S2 となります．
解法として（ア）ほぼ直感 （イ）円の面積計算 が挙げられそうですが，学びの発展性を考え，（ア）に根拠を付けて「理論武装」したいところです．
まずコツコツと地道に計算すると・・・
■ Ｑ1はパスしてQ2 を計算で解くとすれば次のようになりましょう．
円の半径rはGHで表される．
正三角形の1辺の長さは1であるから，AH=√3/2
また，Gは正三角形の重心でもあるので，AG:GH=2:1
∴ GH=1/3AH=√3/2×1/3=√3/6 (←高校生以上であれば1/2×tan30°の方がラク）
よって，小円1つの面積(S0)=π(パイ)GH²=π/12
このとき，S2=4×S0=π/3
また，S2と同様に大円の面積(S1)を求めると，π/3であるとわかる．
よって，S1=S2
以上「腕力」による計算でした．
そこで別発想でやってみましょう．
「すべての円は相似である」の出番
■ 図1と図2をみてください．
小円と大円の半径比は，1：2 です（相似比といいます）．
ここで，一般に
定理 相似比が 1：k の図形があるとき，それらの面積比は 1：k² となる
が成り立ちます．
すると，図1，2で，小円の面積：大円の面積＝1：4
つまり，S1（大円の面積）＝S2（小円の4つ分） となります．
Q2 についても，相似な正三角形に注目することで解決します（ルート計算は不要！）
Q3 下の図3で，大中小さまざまな円の合計面積を求めてください（最小正方形の1辺を1とします）．
地道に計算しても求まりますが・・・
■ 相似比と面積比の関連について，小円から大円に向けて思考を働かせてきましたが，逆に大円からスタートして小円に向けてみます．
■ 図の場合，半径2の円が，半径0.5の小円16個に分解される様子が分かります．つまり，「円1ケの面積＝小円16ケの面積」を表しています．
A3 下図のように，半径2の円は半径0.5の小円S0（最小正方形に内接）16ヶに置き換えられます．以下同様に，図3のすべての円を小円S0に置き換える作業をします．
すると，計144ヶSが12×12の正方形内にびっしりと詰まることになり，その面積は，前述した相似比と面積の関係より，半径6の円の面積（＝36π）となります．
■ 念のため，図3で全ての円の面積の総和を求めてみます．
半径3.5の円･･･1ヶ，2.5の円･･･1ヶ，2.0の円･･･1ヶ，1.5の円･･･3ヶ，1.0の円･･･4ヶ，0.5の円･･･11ヶ
よって，
円の面積計＝π（3.5²＋2.5²＋2²＋3×1.5²＋4×1²＋11×0.5²）
＝36π（＝半径6の円の面積）
＜補足＞
■ 次回テーマは「JR電車の幅」（予定）です．量感覚を磨きましょう．
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