「変化 ⇒ 即,比例」 という思い込み

比例は極めて重要な変数間の関係です．テストでは小中高を通し頻出され，また，自由研究の作品でも，計算自体は比例という例が少なからずあります．

比例は重要 ⇒ だからこそ比例しない例をしっかり！

■ 任意の曲線も，微視的に観察すれば，線分の集まり ⇒ 直線的変化  つまり，比例ですね．これが微積分へと発展します．

■ A大学数学教育研究室では13年前より「なるほど算数・数学」なるプロジェクトを立ち上げ，近隣の小中高で「学生出前授業」を実施しています．

ある高校での様子を紹介します（多少脚色）．

■ (2)の問について，高校生A1さんと担当学生S2さんとやりとりが印象に残っています．

S2 「高さが2倍になるので角度も2倍としたワケだ」

A1  「はい．ダメですか？」

S2 「45°×2 で90°か．でも仰角が90°のとき，見上げる顔はどうなる？」

A1   「あれっ？真上になる・・・？？」

S2  「今わかったことを整理してみよう．すごく大事なことなんだ」

（以下略）

⇒ この例は，関数y=tanx が比例関数でないことを示しています．

⇒ x（入力）が2倍になれば，y（出力）も2倍になる！ は成り立たない

復習の在り方

■ 上記の y=tan2θ  についてS2さんの解説は，復習の在り方について意義あるヒントを提供しています．

■ T：数学リーダー，Ai：生徒（三角比，三角関数を履修済とする．i=1～4）

T：先程のA1さんの発言は，高さが2倍になれば仰角も2倍になるだろうという見通しだったけど正しくなかったね．何しろ仰角が90°のときは，天井が無限に高くなるので．でも，A1さんの答は実に意味ある「歓迎すべき」間違いなんですよ．

変数がk倍になれば,　結果もk倍になる，という関係を何て言いますか？

A2：比例かな

T ：ハイ，そうですね．勉強時間と点数はどう？つまり，勉強時間を2倍にすれば，点数も2倍になりますか？

A3：なるときもあるが，そうならないことが多いと思う．

T ： さっきの「歓迎すべき間違い」より，y=tanx という三角関数は比例関数ではないことがわかったワケです．

式で表すと，tan2θ は 2tanθ とはならないのです．

では y=sinx はどうですか？ sin2θ=2sinθ が成り立つかどうか．

A4 ：どう考えるんだ？さっきみたいに図もないし．

T ：皆さん！初めて見るように式を捉えているけど，sin2θ や tan2θ とホントに初対面ですか？どっかで会っていない？

A1：アッ！2倍角公式だ！

T ：そうだよ．あの憎らしき三角公式群の代表だったね．

sin2θ＝？　　tan2θ=？　それぞれどうでした？

A1：sin2θ=2sinθcosθ  で，確かに比例関係ではないです．

T ：cosθが付いちゃうからね．

（以下略）

＜参考＞ \[ cos2θ=cos²θ-sin²θ, tan2θ=\frac{2tanθ}{1-tan²θ} \]

⇒ 以上の展開は，「関数の比例」という視点から既習のsin2θ，cos2θ，tan2θ （2倍角）公式の見直し・再確認を図ったと言えます．

なお，θ>0でθ≓0 のときは，cosθ≓1 より，y=sin2θ=2sinθcosθ≓2sinθ となり，ほぼほぼ比例関数．また，θ≓45°(π/4)のときは，tan2θの分母=1-tan²θ≓0 より，tan2θ→+∞ となります．

＜攻める復習のイメージ＞

習った事項について

Ⅰ 別の視点から見直し，再認識する

Ⅱ これから習うことに関連付け，予習にも踏み込む

⇒ 復習の一つの形に「補習」と称する半ば強制的な学習もあります．中には不本意ながら出席する子どもも多いことでしょう．

その際，「攻める復習」は効果あります．子どもに「補習に参加した方がトクだよ」と思わせたらサイコーですね．

＜補足＞

■ 次回テーマは「ベクトルの和」（予定）です．

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