背理法とモヤモヤ感

背理法ですが，まず，漢字表記から受けるイメージがよろしくありません．何しろ「理に背く」ですからね．実際，多くのヒトにとって，背理法との初対面の印象は，どこかごまかされたような，スッキリ感の持てない出会いとなっているようです．

さらに，背理法に首をかしげていると，数学を得意としているヒトからは「数学論理の素晴らしさにカンドーする」みたいな言い方をされることもあるようで，背理法を巡って、教室は２分されるかもしれません．

源流は算数に

背理法の源流を算数に見出すことができます．たとえば，割り算です．

背理法とは

背理法の定義には微妙な違いがありますが，あっさり形を紹介します．

あることがらが成り立たないと仮定して矛盾を導くことにより，そのことがらが成り立つことを証明する方法

例１　自然数nがあり，n²が偶数ならば，nは必ず偶数である．

証明：nが奇数と仮定する．このとき, n=2k+1(k=0,1,2,3,･･･) と書き表せ, ｎ²=4k²+4k+1 =4(k²+k)+1 となり,奇数となる．これは, n²が偶数という最初の条件と矛盾する．よって, nは偶数でなければならない．

例２　あみだくじでゴールが重ならないのはなぜでしょうか．（本blog ‘21.7.5「あみだくじ，重ならない？」再掲）

以上の２例は比較的，ナットク感のもてる内容ではなかったでしょうか．次はどうですか．

√２：無理数の証明

背理法と言えば，「√２が無理数である」の証明が有名です．

※１ 有理数･･･分数形で表せる数，無理数･･･有理数でない数

※２ 近年，背理法によらない意外な証明も知られるようになりました．ご存じでしたか？

＜証明の骨子＞

① √2=q/p(既約分数）と仮定する（※既約分数と「p,qが互いに素」は同じ意味）

② 平方した後，倍数関係から，p,qがともに偶数であることが示される

③ この結果は，①の既約分数という仮定に反する

したがって，√2は有理数ではない．つまり，無理数である．

 

＜モヤモヤ感＞

(1) 有理数でなければ，無理数なのか？その他の数があってもよさそうな気がする．

(2) 勝手に既約分数と決めておいて，その些細な”既約”個所と合致しないからといって，仮定全体が否定されるのか？

(3) 直接証明ではなく，間接証明なので，どうしてもストンと墜ちない．ズルイ！という感じがしてならない．隔靴掻痒（靴の上から搔く）とはこのことだ．

モヤモヤ感1 ⇒ 排中律

排中律(ハイチュウリツ）は，基本論理法則の一つですが，背理法に対するモヤモヤ感の一つに，この排中律確認の”不徹底さ”があると考えています．

刑事ドラマで，容疑者ＡとＢが刑事に追い詰められました．ここで，Ａのアリバイが証明されたとします．でも，即，Ｂが犯人だと断定されません．なぜでしょう．

「√２が無理数」の話に戻ります．

実数 a は，{有理数 か 有理数でないか}のいずれかで，排中律により，その間はありません．

そして，有理数でない数＝無理数　でしたので

実数ａは，{有理数　か　無理数}　のどちらかとなります．⇒ ここがpoint！

ここで，√2 が無理数でない ，つまり，有理数であると仮定します．

　　　（以降，略） 

モヤモヤ感2 ⇒ 矛盾律

矛盾律も基本論理法則の一つです．

「Ｐであり，同時に，非Ｐである」ことはない

”Ｐであり，同時に，非Ｐである”･･･この個所を矛盾といいます．そして，ひとたび矛盾が示されると，それまでの論が矛盾律により否定されます．

＜あみだくじの例＞

ゴールで重なるとすれば，出発の段階から重なっていたワケで，これは，別々のくじを引いたことと矛盾します．よって，ゴールが重なることはない．

このように，矛盾が単純明快な場合はよいとして，論理が複雑で記述が長くなると，「これは矛盾だ！」と指摘されても，全体像の理解が及ばないことが，しばしばあります．

√２：無理数 ⇒ 再確認

第一に，√2は，無理数か有理数か，のいずれかであって，その他のケースが入る余地はない！ことを徹底しましょう．⇒ 排中律！

第二に，√2=q/p (既約分数)と仮定して，矛盾を示すのですが，その示し方に工夫が必要です．

計算を進めると，p,qが偶数であることが導かれ，これは，”既約分数”と仮定したことと矛盾する･････モヤモヤ感の核心部分かと思っています．

実は，q/pが既約分数であるか，否かは，本質的ではありません．

既約としないで論を進めると，やはりp,q ともに偶数が示されますので，P=2P’, q=2q’ と置けます．それがくり返され p’,q’ が再び偶数となります．すると，偶数/偶数の形が永遠に続く･･･．そのような分数q/pは存在しませんので，背理法が成立します．

つまり，分数の既約性ではなく，「√2 を分数形式q/p と仮定する」こと自体が矛盾の大元なのです．

まずは「√2=q/p 」と仮定して，ドロ臭く論を進め，一応ナットクした上で，「√2=q/p (既約分数)」とすると，矛盾の示し方のスマートさが再認識できます．

多少，時間がかかっても，”背理法”を学習者の「敵に回さない」工夫を重ねたいものです．

＜補足＞

■ 次回テーマは，「意外な確率」（予定）です．確率も好き嫌いがハッキリしますね．

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