内積って何だ？
内積については，ひたすら問題解きのための重要ツールとして扱っているヒトが少なからずいるのでは？ ナットク感もナルホド感もないとすれば，モッタイナイ話．
まず 内積とは
■ 内積の定義は次のようです．
■ 「・」を普通のかけ算と混同（同一視）して，雑に書いたり，中には省略してしまう解答も見受けますが，答案の採点について言えば，極めてよろしくない印象を与えますね．「このヒトは数学のソモソモが分かっていない」⇒ その後は「厳しい目」で答案採点が続くことになるかと．
cosθ が入っているワケ
■ 物理学における仕事(W)とは
Ｗ＝Ｆ× s (F:力，ｓ:移動距離) ① のこと
日常用語の仕事とかなり違い，まぁベツモノです．
したがって，あるロッカーを力一杯押しても動かなければ，s=0，つまり，W=0 です．仕事としては評価されません．汗をかきかき押す姿など見てくれないのですね．
■ ①で，物体が動く向きと力の向きが一致しない，たとえば，力の向きが斜めになっている場合はどうなるでしょう．
■ 図で，力Ｆの水平方向の力の大きさは，Fcosθ ですね．
したがって，仕事(Ｗ)＝Fcosθ×s
となり，冒頭の内積(=OH×OA)が出てきました．
■ このように，
ベクトルの内積＝(物理でいう)仕事
ということが示されました．
■ したがって，内積はベクトルではなく，仕事量を表す単なる実数です．ただ，θ：鈍角 のときは，cosθ＜0 ですので，内積がマイナスとなります．仕事量＜0 とは理解に苦しみますが，数学の自由性と考えてください．
図形の証明と内積
■ 入試で内積に絡む問では，「内積=0」がpointですね．
内積=0 となるのは，0ﾍﾞｸﾄﾙを除けば，θ=90° ，つまり，ベクトル同士が直交しているときなのです．
例：直径の円周角は90°であることを証明しなさい(中3)．
⇒ 教科書では，円周角=中心角÷2 を示して解説を展開しています．ここでは”90°”に注目して，内積を用いて証明しましょう．
■ このほか，中線定理（ハップスの定理）も，幾何特有の「ひらめき」が不要で，もっぱら機械的な内積計算で証明が完成します．
類似度 ⇒ 今,「旬」です
■ ネットでモノを注文した際，直後から「この商品を購入したヒトはこんな商品も購入しています」といった感じで．オススメ品の知らせが，即，次々と画面に届く経験ありますよね．
■ そのモノに，前もってオススメ品知らせがストックされており，それらがただ機械的に流されてくるのではありません．
■ 過日，ネットで掃除機を買いました．数多くのモノからその掃除機を特定するにいたるまで，どんな「要素」が必要だったか，振り返りました．
例｛メーカー名，価格，製造年，電源(ac電源か充電式)，重さ，性能(ｗ数)，購入者評価･･･｝
■ これらは，数値化可能ですね(価格･･･3段階にして，0,1,2 を充てる等)．正にﾍﾞｸﾄﾙの各要素を示しており，上記で購入者評価までであれば，７次元のﾍﾞｸﾄﾙとなるワケです．
⇒ モノが ﾍﾞｸﾄﾙ 表示される！
⇒ 3次元までなら目に見えるが，n次元(n≧4)のﾍﾞｸﾄﾙって存在するの？
⇒ 目には見えませんが，”存在する”として論を進めます．数学の自由性と捉えましょう．
■ データ分析をビジネスで活かす
① モノをベクトルで表し，それらのベクトル同士の類似度をフル回転させること
② クラスタリング（似たもの同士に分ける）には，類似度dataが必須
③ 類似度の理解 ＝ cosθの理解
⇒ ほとんどの国民に知られていないところで，内積＆cosθが使われているのです！
■ cos0°=1 ですから，cosθの値が1に近い(0.93など) ⇔ 2つのﾍﾞｸﾄﾙのなす角が0°に近い．つまり，それら2ﾍﾞｸﾄﾙは類似度が高い と言えます．
一般に，角θが鋭角のとき，cosθ₁＜cosθ₂ ⇔ θ₁＞θ₂ です．
（※）有名角の三角関数値をひたすら棒暗記する・させるような学びをしている限り，この種の論理をナットクするのは困難でしょう．
類似度について･･･参考（週刊ダイヤモンド 2018.6.30）
＜補足＞
■ 次回テーマは，「交点と連立方程式」（予定）です．交点と言えば，「まぁ連立方程式を解きゃいいだろう」ですが，なぜそれで交点が求まるのでしょうか？
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内積でcosθが入っている理由なんて考えたことありませんでした！非常に面白かったです。
hi 様
コメント，ありがとうございます．当方の思いと合致した思いです．４次元以上でも事象がベクトル表示され，さらにcosθがでかい顔して鎮座している様子は面白いですよね．充実した学生生活でありますように．