asinθ+bcosθ:合成 ⇒ 唐突感のカイゼン
y=3sinθ+2cosθ という関数は，y=√13sin(θ+α) と変形(合成)できます．この合成公式，唐突に√13 や 意味が分からないα が登場しますので，評判よろしくない公式の代表格です．
突然，√a²+b² でくくる ⇒ これが不評
■ 唐突感ある授業の場合，その多くは，一方通行で，天下り式の展開となります．
■ √13や α が登場する舞台裏，また，そもそも合成自体の必然性の理解も得たいですね．
すばらしい質問
Ｑ 「y=sinθ と y=cosθ は性格が反対．第1象限では，前者は単調増加，後者は単調減少．すると，y=sinθ+cosθ という関数は，互いに打ち消し合って，フラット，つまり，x軸に平行な直線になる，あるいはそれに近い曲線になるのではないか？」
何ともユニーク，かつ，一考に値する見方です．このような発言（つぶやき含む）や疑問は”大歓迎”ですね．内心「よくぞ言ってくれた」という思いを抱きます．
■ 例：y₁=x, y₂=ーx+2 なら，y₁+y₂=2 となり，確かに一定値2 となりますね．こんなイメージでしょうか．
予想して式化を試みる
■ そこで，y=f(x)=sinx+cosx で，xが適当な角のときのyの値をマークしてみましょう．グラフ作成には，本blogでしばしば登場する画像フリーソフトgrapesを使用しました．
下図で，点Pのy座標●+点Qのy座標●＝点Sのy座標● です．
■ 上図で，●の軌跡を眺めると，フラットな直線にはならず，なめらかな曲線，しかも，周期性もありそうですね．次の図を見てください．
■ 上図で，曲線（赤点線）の式を求めてみましょう．
■ 仮定がpointですね．
もし，f(x)=5sinx+2cosx のときはどうなりますか．
②，③ ⇒ 5=kcosx ･･･②’ 2=ksinx ･･･ ③’ となり，それぞれ平方
⇒ 25=k²cos²x , 4=k²sin²x
⇒ 辺々加えて，25+4=k²(cos²x+sin²x)=k² ∴ k=√29 となります．
したがって，f(x)=asinx+bcosx のときは，k=√a²+b² が登場するワケです．
唐突感とどう付き合う
■ 数学は「体系的な学問」ですので，学びの途上で，”天下り”の解説を避けることはできず，そのつど”唐突感”が発生するものと覚悟しなければなりません．
■ 算数数学のリーダーは，”天下り”箇所に入ると，①子どもの多くは,「キョトン」とするだろうという覚悟を持つ ②何らかの緩和策を講ずる（背景・舞台裏説明に努めるなど） の2点を踏まえた対応を心準備しておきたいもの．
一番困るケースは，”天下り”の解説をしているという自覚を欠いている場合ですね．⇒ 無自覚の指導は罪深い！
＜補足＞
■ 次回は，「共通テスト 数ⅠA”山の仰角”あれこれ」（予定）です．過日，第2回大学共通テストが実施されましたが，全体的に難易度が上がったというほか，話題になった数学の問があります．数学の問題がマスコミに取りあげられるのはほとんどありません．
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