必要(十分)条件って何？

〇は△のための何条件か？という問がありますが，”問題のための問題”となってはいないか，という疑問&不信を以前から感じてきました．順を追って話を続けます．

そもそも命題とは

真か偽か

■ 命題の典型は，p,q を条件として pならばq という形です．

これをｐ⇒ｑとかき，そのつど，真偽を判定します．

そして，「ｐ⇒q:真，かつ，q ⇒ p:真」のときは，「ｐ⇔ｑ」と簡素化します．

例をいくつか 

(1) x²<1  ⇒ x<1  (真)

x²<1 を解くと，-1<x<1 　この範囲にあるxは，必ずx<1 となるので，上の命題は真となります． 

(3) 日本国民である ⇒ 都民である (偽) 

反例：埼玉県民もいるじゃないか！(埼玉県にする理由は特にありません．秋田県民でもokです)

算数で，p⇒q の形を探す

■ p⇒q 形式の命題は，高数A(1年次相当)で本格登場します．中数でもときおり顔を出しますが，見逃すヒトが多いかも．

■ さすがに算数教科書では見かけませんが，小3算数で近い形を発見．

要するに，次のような主張です．

「円と半径を使ってできる三角形 ⇒ どれも(必ず)二等辺三角形になる」

■ 上の記述で最大のpointとなる語句は，どれも です．例外(反例)が作れないことから，”どれも”の背景に，無限の概念が含まれていることが分かります．

小3生でも「不思議だな～」「ホント？」「もっと確かめたい」といった発言や表情をする子どもがいたら，数学リーダーはスルーしてはいけません．是非，立ち止まってその反応をみなで共有すべき ですね．

必要条件とは？ 十分条件とは？

■ 定義は次のとおりです．

命題:ｐならばｑ について

また，ｐ⇔ｑ　のとき，ｐとｑは互いに必要十分条件（同値）といいます．

■ 初見のヒトにとって，この定義はどんな印象を持つのでしょうか．

「翻訳の雰囲気・臭いがプンプンする．いくつかの例から理解していくしかないな．命名を逆に覚えたら悲惨だな」

こんな不安感を抱くヒト，いますよね．

例1 「n: 偶数」は「n: 4の倍数」のための何条件か？

解「n: 4の倍数 ⇒ n: 偶数」は真です．

　したがって，n: 偶数 は，n: ４の倍数 のための必要条件です．

■ 推測ですが，この「〇□条件」について，3割くらいのヒトは，どこか曖昧さと不安を抱えたママにしているのでは．

定義を思い切り単純化する

■ 「何条件か？」と問われると，少なからずのヒトは「どっちだったかな～．逆に覚えているかも･･･」とドギマギしますね．

そこで，以下のような提案をします．

１ ｐ⇒ｑ の真偽の判定こそ本質！← 命名ルールに惑わされず，真か偽かの判断を優先

２ 定義文中で(ｑのための)という箇所は，ないこと（消去）にして命名を定着させる

 ← 英訳では「for～」という形容詞句で文の後半に出てくる．つまり，前段だけの訳で事足りる

３ 日常用語の「必要,十分」とはベツモノと割り切った方がよい

← 必要と十分の語句と,こじつけ的に絡ませる解説もあるが，やや無理筋

← あえて覚えるとすれば，「⇒の向きが必要」，「矢(の向き)が必要」がお薦め

 

例3  次の□の中に，必要,十分,必要十分のうち適切なものを入れなさい．

（解答例では「～のための」をあえて省いています）

(1) 「カサが開く」は「雨が降る」のための□条件である．

 

解  とにかく，真偽の判定が優先です．

①「カサ開く」⇒　「雨降る」

②「雨降る」　⇒　「カサ開く」

当然，②が真です．

すると，”矢(の向き)が必要“ですから，「カサ開く」は必要条件となります(「雨降る」は十分条件)．

(2) -1<x<2 は，x<3 であるための□条件である．

解  とにかく，□条件に惑うことなく，真偽を判定します．

① x<3 ⇒ -1<x<2　　　

② -1<x<2 ⇒ x<3

②は真です（①は，x=-5 などが反例）．

「矢が必要」より，-1<x<2 は，十分条件となります．

 

(3) 自然数m,n について，条件「mとnはともに奇数」は条件「m+5n は偶数」のための□条件である．（’19 大学センター試験）

解  とにかく，真偽の判定です．

① mとnはともに奇数 ⇒ m+5n は偶数

② m+5n は偶数 ⇒ mとnはともに奇数

①は真ですね(証明までは不要かと．適当な例で確認する程度)

②は偽（反例:m=n=2など）

「矢が必要」より，「mとnはともに奇数」は十分条件となります．

＜補足＞

■ しつこいようですが，真偽の判定こそが本質であり，命名は枝葉部分です．少なからずのヒトが，その枝葉に翻弄されていることに長年，疑問を感じてきました．「p⇒q の真偽を判定しなさい」という出題で十分かと．

■ 次回のテーマは「隠れている無限」（予定）です．数学は無限を扱う学問であるという見解もあります．でも，授業で無限はあまり意識されていないようです．

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