やっちゃえ！”外分”
内分は特に問題はないとしても，外分となるとガラリと様相が変わるのは，今も昔も同じようです．一体何が…
■ つい先日も，twitter上で外分の質問を見つけました．それもほぼ定義そのもののような内容で「昔と同じ．全然カイゼンされていない！」との思いを強くしたところです．
外分のどこが難しいのか
■ 要因をいくつか挙げます．
(1) 外分点が正しく打てない（作図軽視の傾向？）
⇒ 定義がナットク感を持って伝わっていない
(2) 外分公式に登場する文字が多い
⇒ x₁,x₂,y₁,y₂,m,n の6文字（添数が苦手のヒトいます）
(3) 外分公式で –記号が気になる
(4) 内分点に比して，外分点には不自然さがある
まず，分点を打つルールから
■ 数学における点の打ち方には，内分・外分点だけでなく，チェバやメネラウスの定理でも共通するルール（暗黙の数学ルール！）があります．
⇒ 点を打つ際，ペン先は用紙から離れない ということ（スタートからゴールまで）．
■ メネラウスの定理で説明します．ペンは，点Bからスタートして，P→C→Q→…→R→B と各点を打っていきますが，その間，ペン先は用紙から離れることなくゴールBまで動きます．
■ 次のⅠ～Ⅲの図で点の打ち方ルールを確認しましょう．
Ⅰ，Ⅲ は外分点を打っています．
Ⅱは，①の後，ペン先が用紙から一旦離れて②へと動いていますので，ルール違反ということになります．
実際に，外分点を打ってみる！
■ 線分ABをm:n の比に外分する点がPです．
＜留意点＞
①外分点Pは，線分AB上にはない ← もし線分AB上にあれば，それは内分点
②点Aがスタート，点Bがゴール（AからBを見る）
③m<n のときは，PはAについてBと反対側に存在
特に，③に抵抗感が強いようです．
■ 左図上は，5:3 の外分点の例ですが，間隔が不正確過ぎ，BP=3 には見えませんね．
左図下は，5:2 の外分点でまずまずOKです．
■ ほぼ正しく外分点を打つのはそんなに簡単ではなく，ケッコウ苦労します．
＜簡便法＞
下図で，線分ABを（ｍーｎ）等分して区切りマークをつける(m,nは互いに素)
⇒ これにより，おおよそ正しい外分点が求まります
例 5:2 外分の場合
① 5-2= ３ ですから，線分ABをだいたい3等分する
② その2っ分でPを定めると，BP=2 となり，実際，AP=5 を満たす
※ ｍ＜ｎ のときも同じような発想で柔軟に対応しましょう．
外分公式に親しむ
■ 結論から言うと，外分公式は，内分公式と一体的に解釈できます．
⇒ 覚えるべき公式が減ります！
■ 上記外分公式変形からの逆発想になります．
① 線分ABに向きを与え，「A→B」を正の向きとする
② m:n の外分で，m>n ならば ，nに対応箇所が負の向きになると解釈できるので
内分公式で n → －ｎ
の置き換えをすれば，機械的に外分公式が導かれます．
■ さらに，m<n のときは，向きから「–m:n の内分」と解釈でき，次の左辺のような式で表せます．この際，分母分子に(-1)をかけて
$$\frac{-mx₂+nx₁}{-m+n}=\frac{mx₂-nx₁}{m-n}$$
となります．
したがって，m>n, m<n のいずれの場合も
ｍ：ｎの外分 ⇔ ｍ：(－ｎ) の内分
という解釈で，内分公式一本でコトが足りることになります．
＜補足＞
■ 次回テーマは「ベン図をキレイに書く」（予定）です．3つの円まではスムーズに書けますが4つの円はどうでしょう．
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