ベン図を4つの円で描く？
ベン図は集合の範囲の見える化に必須のツールです．その際，円３つまではスイスイと描けるのですが，4つ以上となると…
４集合のベン図
■ 下図は，集合A, B, C に，何とか集合Dを付け足したものです．
■ 「何とか」としたワケは，円3つで8部分(領域)に分かれていたところに
8つの各領域ごと，集合Dのメンバーで｛ある，ない｝の判断をする
つまり
4つ目の集合Dでもって，すべての領域を2分割しながら描く
必要があったからです．平面を２⁴=16分割することになり，実際，やってみるとケッコウ手間のかかる作業です．
■ この集合Dのベン図をシンプルにしたいものです．
集合Dを円で描けないか？
■ 試行錯誤的にやってみると，円で描くのは困難であり，不可能だろうと予想できます．さて，どう説明しますか？
■ 図は，青円によって平面が①②の2つに分かれているところに，緑円を付け加えた様子です．
2つの円により，2交点P, Q ができる．
⇒ 円弧C1(短), C2(長) ができる
⇒ C1により，①’ が出現
⇒ C2により，②’ が出現
結局，2交点により，2領域が増えることになります．
■ 本題に戻ります．3つの円でベン図は8領域に分かれています．
そこへ4つ目の円Dを付け加えます．
⇒ Dは各円とそれぞれ2交点持つ
⇒ すると，2領域ずつ増え，計6領域増える
⇒ トータルで8+6=14 領域となる
⇒ これは，4集合による領域は16(=2⁴)であることに反する
よって，ベン図として4つ目の円は描くことができないことが分かります．
■ 上述は背理法による解説で，論理としては分かるにしても，どこかスッキリしないと思いませんか（背理法の宿命？）．
そこで，集合自体に絡ませず，単純に図形（幾何）問題として挑戦してみましょう．
背理法によらない解説
■ 図のように，一直線上にない3点を通る円はただ一つ存在します．
・2線分の垂直2等分線の交点がその円の中心となります．
・あるいは，座標を導入して円の方程式：x²+y²+ax+by+c=0 とします．
3点の座標数値を代入して，連立3元方程式を解くと，a,b,c が求まる！
この解説でもokですね．
■ 上図で，書き足す4番目の円Dは，各領域を必ず通過します．そこで，①②③の各領域から適当に3点(赤)を選び，円Dが3点を通るとします．
図の場合，3点を通る円は一通りに決まりますが，上に凸（円の上半分）の状態であり，その円が上方の④の領域は通過できません．
※点の取り方により下に凸にもできますが，その場合もやはり通過できない領域が下方に発生します．
同様にして，他の領域から3点を選んでも，やはり通過できない領域が現れます．
＜まとめ＞
4つの集合からなるベン図を，4つの円で書き表すことはできない
＜補足＞
■ ベン図を円で描いたとき，円と円の位置関係が決定的で，円の大きさは不問であることは言うまでもありませんね．
■ 次回テーマは「sin,cos,tan って何？」です（予定）．三角関数アレルギー発生源に，この記号も含まれているようです．
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