背理法あれこれ ①浅読み（√2…無理数）
背理法はいかにも数学らしい証明法です（どこか釈然としないながらも渋々ナットクしている向きもアリ）．ただし背理法の核心部分を浅読みor誤解しているケースも散見できます．
背理法がシックリこない主因
■ 犯人捜しの場合，「容疑者がA, Bの2人いる．Aが犯人でないと証明された．よって，自動的にBが犯人である」とは断定できませんね．ｃや毒蜘蛛が真犯人かもしれませんから．
■ ところが，論理（数学）の世界では「xは，Aであるか非Aであるかのいずれか一つ．中間やその他はない」のです．
これは論理の根本原理で，排中律（ハイチュウリツ）といいます．
■ 排中律を「心底」認めることが背理法ナットクに直結します．
⇒ 排中律があいまいなヒトに背理法ナットクは無理！
例 実数は{ 有理数 or 無理数 } のいずれかであって，これ以外にはありません．
√2：無理数 の背理法による証明
■ 「√2 が無理数である」の背理法による証明の場合，その前提が大事です．
⇒ √2が無理数でないと仮定すれば，排中律によりそれは自動的に有理数となります
つまり，√2が有理数（←正しい翻訳は有比数） と仮定すれば，√2は分数の形で表せます．以下，証明の本文↓
スッキリ感のない理由
■ ある疑問の紹介
下線部「仮定①（p,qは互いに素）に反する」について．互いに素 は解答者が付けた条件だ．それに反すると言われてもな～…矛盾は勝手に作れるの？
さて数強の皆さんならこの疑問にどう説明しますか？「感じること自体がおかしい！」などと突き放さないでください．
■ √2 が有理数とする，
つまり，√2=q/p とする これが仮定の本家大元です（p,q:自然数）．
→ 互いに素（既約分数）はひとまず保留にしましょう．
このママ論を進めると
上記のように p,q ともに偶数が示されますので，P=2P’, q=2q’ と置けます．
代入の結果, p’,q’ が再び偶数となります( 新分母p’はpより小．新分子q’もqより小 )．
以下，同じような論が成り立ち， √2=分子/分母=偶数/偶数 の形の有理数が限りなく続く．かつ，分母・分子ともに小さくなっていく…
そのような分数q/pは存在しませんので，背理法が成立します．
ただ，操作が”限りなく続く”ではどうもシマリがよろしくありません．
■ そこで，√2=q/p (既約分数)
と仮定すると，2つの式誘導で矛盾が見つかる！メデタシメデタシという結論です．
＜補足＞
■ 以上のような経緯が分かると「既約分数」と設定する意味とスマートさが理解できますね．ただし，数学を学ぶ上で，最初からスマートさをねらうのではなく，多少，遠回りでドロ臭い手法であってもそれを「知る」「体感する」ことはムダにはならないと考えます．
■ 次回のテーマは今回の続編で「背理法あれこれ② 誤読（素数の無限性）」（予定）です．
■ にほんブログ村ランキング（数学教育）にかかわってバナー↓のclickをお願いします（宣伝が多く恐縮です）．
