3< 円周率 <3.5 を確認する
定理や法則はすべて証明した上で次の段階へ進みたいものです．しかし実際は，π（円周率）＝3.14159･･･のように，定理・法則の「ユーザー」と割り切るしかない例も少なからずあります．ただ，その「割り切り方」は大切ですね．
「詳しくは大学で習うが，ここではおおよその値でいこう」はまずまずとして
(※実際は大学でも関心をもつヒト以外はムリ)
「ワケはいいから結果は覚えておけ」はワーストかと．
円周率って何だっけ
■ 円周率とは，円の 周(s)と直径(d)との比
つまり，ｓ：ｄ （＝s/d）をいいます．
point は次の2点．
① すべての円は相似より，比
$$\frac{s}{d}$$は一定値となる．
② 古代から円周率は3程度であることは知られていたが，後に無理数であることが証明された（循環しない無限小数）ので，(仕方なく)文字定数:πが当てられた（⇒ πはギリシャ語で”周”の意味）．
特に，直径d=1 のとき，s/d=s より
π=円周(の長さ) である．
3＜π : 楽勝！
■ かつて，東大入試で「3.05＜π 」の証明が出題され，受験生や関係者を面食らわせました(’03)．今でも良問と思っていますが，採点はさぞタイヘンだったでしょうね．
■ ここでは，まず，３＜π を示します．
■ 上図は，半径1の円に内接・外接する正6角形を示しており，△OAB, △OCDは正三角形です．
すると
AB=1（AB=半径OAより）
AB<弧AB（AからBへの最短距離=AB）
これらを6倍すると，6 < (半径1の)円周
よって，直径1 とすると，3 ＜ 円周率π が示されました．
次に，π < 3.05 を示します．
π＜ 3.05 は？
■ 上図で，外接する正6角形に注目して，π＜ 6×CD を示しましょう．
CD=2/√3 (※)であり, あとは弧AB＜CD から論が展開できそうですが，コトはそんなに簡単ではありません．
※△OCDの高さ:1 → 高さ:1の正三角形の1辺は三平方の定理より2/√3
■ 図で，曲線sは，線分ABとCDに挟まれておりますが，AB<s は正しい．しかし，s<CD は必ずしも成り立ちません．
このように，下限は最短コースを根拠にして示されますが，上限はカンタンではありません．東大の問題も下限の証明でしたね．
■ 上図で，Pは弧AH₂上の動点，直線OPをL, CH₂とLとの交点をE, ∠POH₂=θ とします．
θを横軸，yを縦軸にして，θを0≦θ≦30° の範囲で動かしたとき，y=線分OE をグラフにするとおおよそ下図のようになります．⇒ 弧AH₂を線分に変換する操作に相当しています
ここで，OP=1(半径) で一定であることより，y=OE=PE+1
■ 図から，AH₂間の最短コースを考えると，ｓ＜弧CH₂ であることが分かります．
また，上述したように，CD=2/√3 なので，外接正6角形の周の長さは，12/√3=4√3 です．
よって，円周(半径:1)の長さは4√3 より小さいことになります．
直径1の円にすると，円周：2√3≓3.46
したがって，π＜3.5 が示されました．
⇒ 線分PEの長さをθの関数と見たとき，増加関数であればよいわけです．
循環論に注意
■ かなり苦労して，π<3.5 を示しましたが，そんなメンドーなことをしなくても
△OAH₂＜扇形OAH₂＜△OCH₂
からラクに弧AH₂＜CH₂ が導かれるとの見解もありですね．
しかし，この論法は，扇形OAH₂の面積公式：1/2r²θを用いており，半径rの円周：2πr という結果を利用していますので，これから証明しようとしている円周率πを先取りしていることになります．
これを循環論法と言い，陥りやすいエラーです．
■ アルキメデス（ギリシア）は，円に内・外接する正96角形を用いて，π≓3.14を示しました．
約2300年過ぎて，今回，正6角形を用いて，はるかに精度の緩い円周率を得ました．足下にも及ばないとはこのことですね．
＜補足＞
■ π<3.5 について，弧度法を使って説明すると「循環論法」になります．そこで，弧度法を知らないという前提で回転角30°を「均等分割」し，横軸の変数にして，回転角量を直線上の点に変換しました．
■ 次回テーマは「球の体積公式」（予定）です．この公式も「天下り式」定理の典型ですね．
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