モンティ・ホール問題に挑戦！（後編）⇒ 理論が直観に勝る

～（中略）～ 正解は「（ドアを）変更した方がよい」なのですが，解説をみてもシャクゼンとしない向きがあります．こういう場合は，”統計的確率”の出番です．

■ モンティ・ホール問題を再確認しましょう．

モンティ・ホール問題（前編）

大別して２とおりの「解答」

■ a：「左図のように，当たりのドアはどちらかなので，その可能性は50%ずつ．したがって，ドアは変える必要はない」

b：「右図のように，最初に開けたドアの当たる確率は1/3．残り2ドアで当たる確率はトータルで2/3. そして，はずれドアが開けられたため，そのドアは除外され，残ったドア（？マーク）の当たる確率は2/3になる．よって，ドアは変更した方がよい」

という2見解です．

■ 前編で，見解bを正解として解説しましたが，どうもシャクゼンとしない声があります．実際，アメリカでは数学者も交えての大論争になったそうですから．

モンテカルロ法で決着をつける

■ 数学では答は一つ（数学の魅力）．それがヒトにより0.5 と 0.666…に見解が分かれてしまう！

これは数学ではメッタにないこと．それもごく身近な例で示されますので興味引かれます．

■ 数学的確率①とは，理論（計算）で求められる確率です．2人の誕生日が一致する確率や，サイコロを振って5の目が出る確率1/6も「まぁ」該当します（正確な作りのサイコロ）．

■ あるコトをN回くり返し（試行），そのコトが起こる回数をr とするとき，r/N を統計的確率②といいます（野球における打率など）．

Nがかなり大きい数なら，①と②の確率は限りなく近づきます（大数の法則）ので，モンティ・ホール問題でも適用させてみましょう．

■ 学校なら多くの子どもたちに参加してもらう手もありますね．ここでは，シミュレーションを乱数を用いて行う方法（モンテカルロ法）を取り入れました．

本問をexcelのRANDBETWEEN関数などを用いてシミュレーションしてみました．

■ 操作イメージ

① 3枚ドア(背面にNO5,6,7と書く)を順不同にセット（当たりドアをNO5に固定して可）．　

②プレイヤーがドアを選ぶ ⇒ ドア番号（セルD3,4,5…の数）で示す　

③司会が，はずれドアを開ける

④プレイヤーは，残ったドア2枚から一つを選ぶ

（注）当たり（はずれ）で｛5,6,7｝を使用した理由（通常0,1,2やa,b等を用いる）⇒ 件数をカウントする際，数:1を用いると関数式がシンプルになることと，記号:1との混同を避けるため

■ 上図の解釈

NO6ドアを選択したプレイヤーは，NO5ドア（司会者は絶対開けない）との2択することになり，この場合，プレイヤーはドアを変更することが有利になります．

⇔ この内容は，F3=1 という式で表されています．

excel 表から読み取る

■ 乱数を発生させて100とおりについて集計しました．

① 最初選択ドアが当たり(NO5)：32% 

②          〃　　　はずれ(NO6)：35% 

③　　　 〃　　　はずれ(NO7)：33%

つまり，①：変更しない方がよい 32% ，　②③：変更する方がよい68%

よって，プレイヤーは，ドアを変更した方がよい，となります．

＜補足＞

■ 本問では，ドアを100枚にするなどして話を展開する向きもありますが，ルールがやや「妙」な感じがします．つまり，残り99枚のドアからはずれドア98枚を開くというルールは不自然です．やはり本問は3枚だからこそリアリティがあり，考えようという意欲が湧くのでは？

■ excelの乱数機能によるシミュレーションにはケッコウ難儀しました．操作内容の式化がタイヘン．いろいろな文献やサイトを参考にしました．

■ 次回のテーマは「式変形を数学的思考から観る」（予定）です．平方完成など，式変形のための式変形になっていませんか．

■ にほんブログ村のランキング（数学教育）にかかわって，バナーをclickしていだだければ幸いです(最初:左，次:INした先で右).