立方体を回転させると…
立方体の回転もいろいろですが，中心を通る対角線を軸にして1回転してできる立体を話題にします．立方体という見慣れたモノを用いてはいますが，ケッコウな内容で手強いです．
■ 写真では一番上の頂点で細い糸がかすかに見えておりますが，立方体がぶら下がっています．この状態で立方体をクルクルと回すわけです．
■ 全体像はさておき，部分的に見ていきましょう（←”落とせそうな”ところから攻める！数学的思考の一つ）．
■ 図で，上の頂点Aに集まる3本の辺で四面体Ⅰができますね．
下の頂点Oに集まる3本の辺でできる四面体Ⅱと合同図形(立体)になります．
■ 四面体Ⅰ,Ⅱに底面(正三角形)を付けてみます．
■ 図では，二つの底面が交叉するような様子ですが，目の錯覚で実は平行になっています．次の図を見てください．
■ 四面体Ⅰ,Ⅱが底面を平行な状態にして1回転します
⇒ Ⅰ,Ⅱが1回転してできる立体は？
⇒ ハイ．円すい！になります．
■ 立方体の1辺の長さを2として，四面体Ⅰを「料理」しましょう．
■ V1,V2 は求められました．
これで”終了”となればよいのですが「本丸」が攻め落とせておりません．
■ 実は，この残った立体の処理がやっかいなのです．
⇒ まずイメージできるかどうか．
■ 図を再掲します．回転軸AOと「ねじれの位置」にある6本の辺(緑色)に注目します．
■ 6本の内，1本おきに同じ辺となりますので，結局，求める立体は直交している左手前の2辺(緑色)だけで形成されるとしてよいことになります．
■ さらに，絞られた2本ですが，回転の向きを変える（左⇔右）と同じ軌跡となります．
結局，軸とねじれの位置にある緑色1辺だけに焦点を合わせればよいわけです．
■ 図で，OS=SU=UA=2/√3 です．回転軸OAとねじれの位置にある辺CDを軸回りに1回転した様子をイメージしてみてください．
■ ナント，図のように点Pが線分SU間にある場合は，鼓(つづみ)のように中が引っ込んだ形となります．
では，ユーウツな計算式を紹介します．
＜補足＞
■ 今回，フレーム式の立方体を用いましたが，このような教具を自作するユトリがなく，ネットで”発見”して画像で紹介した次第です．made in china ですがよいモノです．ただ，送料と本体が同価格というのは疑問？（計2k円程度）
※「算数教材 立体図形 直方体 立方体 3D幾何学図形模型」
■ 本テーマでは計算力もさることながら「立体をイメージする」ことに重きを置きました．
■ 次回テーマは「量感upは全教科で」（予定）です．
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