3進法と天びん

2進法はコンピューターと”一心同体”の記数法であり，10進法は日常生活に不可欠な記数法です．その点，3進法は存在感が薄いのですが，天びんと絡ませると教材としておもしろい結果が出てきます．

３進法の例

■ ある自然数xが3進法で20212(3) と表されているとします．

※ここで，20212を二万二百十二 とは読まず，に/ゼロ/に/いち/に が普通の読み方

■ 20212(3)を10進法で示すと

x=2･3⁴+0･3³+2･3²+1･3¹+2 

 =185(10)　であり

3進法5桁の数 x=a₄a₃a₂a₁a₀ (3)は

x=a₄･3⁴+a₃･3³+a₂･3²+a₁･3+a₀･1 (10)

です（各ai=0,1,2）．5桁以外の数（→任意の自然数すべて）も同様のルールで構成されます．

⇒ 3進法では各桁で用いる数は｛0,1,2｝のいずれか．例えば234(3)という3進法表記はありえません．

※ 上図で①②が求まるワケ

　　　197= …+27a₃+9a₂+3a₁+a₀

　　　　　=3(…+9a₃+3a₂+a₁)+a₀　⑥

∴ a₀は197を3で割ったときの余りであるから，a₀=2 ①

次にa₁に狙いを定めよう．

⑥でカッコ内は65になるので

　　　　65=…+9a₃+3a₂+a₁

    　　　  =3(…+3a₃+a₂)+a₁

∴ a₁は65を3で割ったときの余りであるから，a₁=2 ②

以下，③④⑤も同様の計算で定まる．pointは後ろの係数a₀から求めることですね．

⇒ これらの一連の計算を簡素化したのが図の筆算になります

3進法に制限をかけましょう

Ａ2 x=a₀+3a₁+9a₂+27a₃+…　を満たすxを求めればよい．ただし，各係数ai （i=0,1,2,3…）= 0 or 1  である．小さい順に7つ書き連ねると

x=1, 3, 4, 9,10,12,13　

※ 各”おもり”が2個ずつ用意されていれば，通常の3進法に相当するのですべての重さを表記できます．

おもりと天びん

■ 重さが不明の物体Ｐがあります．天びんとおもりを用いた測定ルール（以下，天びん3進法という）は次のようです．

① 1g, 3g, 9g, 27g…のおもりを各1個ずつ用意する．

② 天びんの左右の皿におもりとＰを適当に選んで載せ，天びんを釣り合わせてＰの重さを測る

この方法でどんなＰの重さ(1g単位)も測れることを示しましょう．

例えば，25gの重さは次の図のようにセットすればよいのです．

Ｑ3 天びん3進法で46gを測りなさい．

Ｑ4 すべての自然数（物体Pの重さ）は天びん3進法を用いて表すことができる．そのワケを述べなさい．

Ａ4 任意の数pを3進法で表したとき，

①各桁の数が｛0 or 1｝の場合（例：p=11001(3))，すべてのおもりを天びんの皿に載せれば，逆の皿でバランスが取れたときの重さがpとなる．

②各桁の数の中に2が入っていたとき（例：p=2021(3))

2000=10000-1000 ← 54=81-27 

20=100-10 ← 6=9-3

のように2を用いない同値変形をすることで，すべての桁から2を除外できる．そして－のついた数を移項（pを載せた皿へ移動）すれば天びんのバランスが取れpを測定できる．

例：p=61(10)=2021(3)

       =2000+20+1

       =10000-1000+(100-10)+1

　∴　p+1000+10=10000+100+1

          p+27+3=81+9+1

Ａ5 理屈がやや長くなります．

＜補足＞

■ 天びんバランスによる測定ですが，3進法だけ（2進法は”移項”が生じない）の特徴で，実際，5進法などでは成立しません．

■ 次回のテーマは「見当をつける力」です（予定）．思考する場合は当然として，計算する・させる場合も見当をつける力＆習慣が大切です．

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