極限値:x≠a のワケ

極限値計算は比較的ラクで,ややもすれば計算技術のみに気を奪われがち.

x→a とは,① xは限りなくaに近づくが,② x≠a とします. ①はともかく,②の意味は?

極限値の誕生まで

■ A市は起点から30km位置にある.10時に出発して12時にB市(起点から130km)に着いた.この間の移動した平均の速さvは次の式で求められる. \[ v=\frac{130-30}{12-10}=50(km/h) \] 時刻aからxまでの平均の速さv を一般的に表すと \[ v=\frac{f(x)-f(a)}{x-a} ※となる. \] 注:f(t)は時刻tにおける起点からの位置

■ 平均の速さの式&答はOKですね.

すると

次に,t=a という瞬間における速さはどうか?という流れになります.

⇒ 前式※において,x=aとしたいところですが,これはダメなのです!

なぜなら,※分母=0 となるので(この 0/0 の形を不定形といいます).  

■ 時計の針をさらに戻します.紀元前からヒトビトを悩ませていたのが「ゼノンの逆理」です.

09 20231002極限値3

■「矢は飛べない.なぜなら,瞬間において矢は静止している.どの瞬間も同じだから矢は位置を変えることはできない.したがって,矢は飛ぶことはできない」(ゼノン:紀元前3C, ギリシア)

09 20230928極限たとえ話1

■ ゼノンの主張を踏まえると,すべての運動体の速さは「静止 ⇔ 瞬間の速さv=0」 となります.

矢が飛ぶのは事実ですので,主張は「間違い」なのでが,反論をしてみてください.彼の言が逆説(パラドックス)として今日まで伝えられてきたわけですから,コトは簡単ではないようですね.

“瞬間”を捨てる

■ 以上のマトメ

前述の式※は平均変化率を表しているが,ある瞬間の変化率を※式から導こうとすると0/0が登場し,行き詰まる

■ この厄介物を「超絶処理」したのはコーシー(1789~1857,フランス)です.以下は「数学序説」(吉田洋一・赤攝也)に拠ります.

09 20231003極限値たとえ話2

■ コーシーのアイデアは,それまでのヒトビトが固執した”究極“という概念をあっさりと捨てたことでした.

その代わりは

変化に対して 途中の様子 だけを見よう

という発想です.

極限値定義をじっくりと観察する

09 20231004極限値たとえ話4

■ 「xはaにいくらでも接近するがaにはタッチしない,それでもf(x)がいくらでもbに接近するという状況が数学的に示されたときは,f(x)は極限値bをもつとしよう」という考え方です.

接近状況証明でもって,極限値なるモノが存在

■ 特に,定義の中で①②の違いに注意しましょう.①は何となく分かりますね(情緒的に).

②の「=」に注目してください.「…=b とかく」です.この場合の=は使用記号の約束であり,2+3=5 の=とニュアンスに違いがありませんか.

根本から理論構築すれば同じ意味の「=」になることが示されるでしょうが,現段階では「強引に=を付けた」という感じかと.

<補足>

■ 引用しました「数学序説」(培風館)は名著・力作だと思います.当時新進気鋭の数学者赤攝也氏が,高大間の数学に横たわる深い溝を埋めるべくペンを取った(キーではなく)であろう”熱”が紙面から感じられます.

■ 次回テーマは「全国学テ:”濃度”が深刻」です(予定).

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