(sinx)’=cosx の図形的理解
(sin x)’=cos x を体感しよう
公式により計算は一応出来るが，実のところ，意味理解は出来ていない生徒や学生は少なからずおり，微積計算でもしかりです．
微分係数 f'(a) は，定義により曲線 y=f(x) 上の x=a に対応する点Ｐにおける接線の傾きを表すのでした．つまり，右上図で，f'(a)=tanθ というわけです．
ちなみに，接線の英訳は，tangent です．
たとえば，f'(3)=1
曲線上で x＝3 に対応する点の接線は,x 軸と45°の角をなす
さらに，a をx で置き換えたものが f'(x) です（→ このあたりの臨機応変さ・自由勝手さに苦しむ生徒もいます）．
したがって，f'(x) は，曲線上の点 P(x,y) における接線の傾きを表します．
⇒ つまり，点x=x における接線の傾きです！
例：ｙ’=f'(x)=2x
微分の定義に基づいて y= sin x の導関数を求めると，複雑な計算が必要なのですが，確かに y’= cos x が導かれます（高校数Ⅲ教科書）.
それにしても，sinの微分結果がcos とは！ 何とも不思議なコトだという思いを抱かれた方も多いのでは？ この不思議感を払拭すべく，以下のように図形的解釈を試みました．
右図で，直線ｍは，y=sin x上の任意の点Ｐにおける接線を表しています．
← ｍは，画面では関数グラフソフト grapes を用いて正確に引かれていますが，実際は，定規を使用して手作業で接線を引きます（アナログ作業）．
さて，この図から ｍ の傾き = f'(x)=cosx となることを図形的に説明してみましょう．いかがですか？
右図で，Ｐは y=sinx 上の任意の点であり，m はＰを接点とする接線です．
また，点Ｑ，Ｒはそれぞれy=cosx上，x軸上にあり，３点Ｐ，Ｑ，Ｒは一直線上に並び，ＰＲ⊥ｘ軸です．
さらに，線分ＰＴ//ｘ軸，ＰＴ＝１，Ｓは ｍ 上の点で，ＳＴ⊥ x軸，とします．
※ この図形的解説はオリジナルです（以前，ある会合でご披露．反応はあまりなかったですね．研修会でなく「会合」がよろしくなかった！）．
＜授業実施上の留意点＞
① y=sinx と y=cosx のグラフが同時に描かれたプリントを用意します．その際，点(1,0)は明示します（PT=1 を作図するときに1の長さが必要）．また，ｘ軸とｙ軸の目盛り幅は，１対１ でなければなりません．
② 点Ｐは生徒に任意に打たせますが，45°<x<70° あたりに収まってもらうと実際的になります．
③ 接線mは，アナログ的に，つまり，定規と鉛筆を用いて描くことが必須条件です．接線の公式計算によってｍを求め，正確に描いたプリントを配布してしまったら，本末転倒であってまったく意味をなしません．多少のズレはあったとしても，ほぼST＝QR であることを生徒に「確認」してもらいましょう．
■ 次回のテーマは，「”折る”操作：折り紙は深い！」（仮題）です．
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この話は面白いと思うので、少し考えてみました。
まず、「会合での反応はあまりなかった」のは当然でしょう。研修会でも会合でも、どちらでも反応はイマイチだと思います。図形的解釈をするのは良いが、正弦曲線をコンプー太で描くのが良くない。やっぱアナログですよ。「昭和人類」たるものは「特に」です。
さて、ここで質問。大昔、私達人間が初めて「楕円」を見たのはどんなときでしょうか？
一見、無関係な質問に見えますが、じつは「楕円」と「正弦曲線」とは同じものです。故に、この質問には意味があるのです。
本ブログ2022年6月5日付の
「円錐の斜平面cut ⇒ だ円」を体感する
で、
円柱を斜平面で切り取ったときの切り口がだ円になること
とやっています。木の丸太を斜めに切った切り口が、大昔の人間が初めて見た楕円でしょう。同じ場所に「レストランでよく見かける注文伝票を差し入む器」の写真もあります。
さて、注文伝票を差し入む器の周りに紙を巻き付け、その紙を斜めの切断面に沿って切ります。巻き付けた紙を平面に開くと、あ～ら、不思議。さて、何が現れるでしょうか？
円柱の中身は不要なので、中空の竹を斜めに切った切り口でやりましょう。これ即ち「竹槍」です。
2022年6月5日付記事 “「円錐の斜平面cut ⇒ だ円」を体感する” の、竹槍に入った家具屋姫の絵は最高だ！ 竹槍に入った家具屋姫、万歳！
実際には、巻き付ける紙は少し厚い紙の方が、定規が引っかかるので接線がひきやすい。また、巻き癖がつく紙が良いでしょう。立体であることがよくわかる。
ぷりくら 様
コメントに「面白い」とあり，ありがたいと感じております．
・サインカーブをPCで描くべきかどうかについてです．実際に作業させると、①サインカーブ等のグラフの描き方があまりに粗雑、②接線も同様で，y=x² の場合でも接線がなかなかそれらしい状態に収まらない，という実情があります．目的が「(sinx)’=cosx の体感」でしたので，途上の躓きを避けるため，PCに頼ったところでした．
・楕円と正弦曲線の件は，1/13付けのコメントで内容が理解できました．ありがとうございます．家庭科の教科書で，背広の肩口がほぼ楕円形であり，その際，縫い付ける袖の曲線にサインカーブらしき曲線が登場する話と合致しますね．
・「会合（＝飲み会と数学）」については，まだまだいろいろありまして・・・いつかの機会に話題にします．
まずはお礼まで
コメント第3回。更に続きます。正弦曲線の接線が話題なのです。
竹槍切断面に垂直に見ると楕円、竹槍を横から見ると正弦曲線でした。
ここで、犬猫アニメ「わんだふる ぷりきゅあ！」との関係を述べておきます。
始まりの主題歌にあるように、楕円と正弦曲線の間で「仲良しキズナが 進化中」なのです。
歌を聞く為にも、是非、犬猫アニメをご覧ください。早く見ないと終っちゃいます。
ここからは数式。3次元空間内に、z 軸を中心軸とする単位円柱
x~2 ＋ y^2 ＝ 1, z は勝手にどうぞ
(尚、x^2 は、x の 2乗のこと)
を考える。切断面は
z ＝ ay, 即ち, ay ー z ＝ 0 (a＞0)
とする。x は勝手 です。この平面の法線ベクトルは、(0, a, ー1) になっている。
竹槍の、端っこでない所での側面への接平面を考えて、巻き付けた紙にできた正弦曲線を、この接平面へ持ってくる。正弦曲線の接線は、この接平面上にある。ところで、一般に、空間内での直線は、2つの平面の交線です。では、この正弦曲線の接線は如何なる平面の交線でしょうか？
竹槍側面に巻き付けた紙を開いて竹槍側面への接平面へ持ってくる際には、紙に細く糊を付けておきましょう。そこが竹槍側面とその接平面との接線です。
第4回 まだ続きます。立体モノを、図も使わず言葉と数式だけで扱うので、長くなっちゃいます。
単位円柱と xy平面に平行な平面(z座標が一定値の所)とが交わる図形は、平面上の単位円
x^2 ＋ y^2 ＝ 1
です。これを
x ＝ cosθ , y ＝ sinθ
と表示。すると、竹槍切断面の外周(楕円)は
x ＝ cosθ , y ＝ sinθ, z ＝ a×sinθ
と表されます。
竹槍の底面として、
z ＝ ーa
を考える。これは、切断面の楕円と(竹槍根元で)接する。竹槍の端っこでない所での側面への接平面が、竹槍の底面と交わる交線を考える。この交線は底面上の単位円に接している。この座標を
X ＝ cosψ , Y ＝ sinψ , Z ＝ ーa
(ψ はギリシャ文字 プシー)
とする。端っこでないので、ψ は ー90度 から 90度の間(両端含まず)で良いでしょう。
竹槍底面即ち 2次元(2個の数字)で考える。単位円の接線は、点(X, Y)即ち(sinψ, cosψ) を通り、法線ベクトルが (sinψ, cosψ) となる直線です。求めておこう。
第5回
第3回での、正弦曲線の接線は、竹槍側面の接平面と竹槍切断面との交線でした。正弦曲線の接線は、点(X, Y, aY)を通る。この接線の傾きは、もう一つの点(U, V, W)をとって計算しよう。どこにとるか？ z座標が ーa の点、つまり W ＝ ーa とする。竹槍底面で考えるのです。竹槍切断面の式は、z ＝ ay だったので、V ＝ ー1 となり、U だけ求めればよい。さて、空間内の竹槍断面の接線を竹槍底面に正射影すると、如何なる直線か？ 是を考えて、U を求めてください。
此様にして、正弦曲線の接線の傾きを計算してみましょう。この計算では微分を使っていないことに注意してください。
この話は、
竹槍側面に正弦曲線が隠れており竹槍側面の接平面に正弦曲線が「潜在」している事
が重要でした。「潜在」した正弦曲線の接線は、竹槍断面に実在する楕円の接線でもあった。
かくの如く、竹槍を用いて、研修会や会合で披露してみてください。正弦曲線をコンプー太で描くよりはウケるでしょう。
アナログ万歳！ アナログ、アクバル。アナログは偉大なり。
その時には、音楽をかけましょう。曲は、勿論、「ポールモーリア オリーブの首飾り」です。
第6回 最終回
竹槍底面 z ＝ ーa だけでなく、z ＝ 0 でも単位円の接線を考えてみましょう。但し、こちらは、ψ(プシー)が 0 の時は使えない。
潜在する正弦曲線の接線がちゃんと接線であることを証明するのは、やはり微分が必要です。
犬猫アニメ「わんだふる ぷりきゅあ！」との関係性再び。
(4人いる)主要登場人物の一人はこう言う。
「結んで紡いでつながる世界！
危油阿里狸庵！
無怖、無怖」
世界は、結んで紡いで、「竹槍で」つながるのでした。無怖、無怖。
東映アニメーションの公式ページ
https://www.toei-anim.co.jp/tv/precure/
の「ムービー」には、変身(へんしん)シーン(長さ47秒)があります。36秒辺りを見ましょう。
んで、私の名前「ぷりくら、TMえぼりゅーしょん」は、一つは、消臭力でお馴染みの「T.M.Revolution」に因んでいました。もう一つは、この犬猫アニメの変身シーンに由来してました。尚「プリクラ」は「プリント倶楽部」の略称です。セガの登録商標になっていて、普通名詞としては「プリントシール機」だそうです。