θとsinθ の大小(つづき)
前回に引き続き θとsinθ の大小を見極めて，三角関数の微分に関する「あの」重要定理（以下，超定理 ※1）の証明に進みます．
※1 「超定理」↓
Ｑ1 （突然ですが）上式の計算について意味を解説してください．
Ａ1
1°=π/180≓0.017453（弧度法）
ここで
sin0.017453≓0.017452（関数アプリ:ke!sanより）
よって, θ=0.017453(=1°) とおくと
$$\frac{sinθ}{θ}=\frac{0.017452}{0.017453}=0.999943≓1$$
となることを示している．
■ このように，θ>0 かつ 十分小さいとき，sinθ<θ が成り立ち，さらに，次のことがいえます（θ<0 の場合もOKですが，省略）．
$$sinθ≓θ ∴ \frac{sinθ}{θ}≓1 (※2) $$
例の超定理の証明では，※2の左辺で，θ→0 の極限操作をします．
θ≓0 のときは，左辺がほぼほぼ1となるので，θ→0 としたときの極限値は1だろうという推測はできますが，根拠がはっきりしません．
こういうときは，「はさみうちの原理」で極限値を燻り出すこともあり得ます．
そこで，少しばかり脇道にそれます．
発想の転換：面積(体積) ⇒ 辺
■ 図形問題において，通常は，”辺が分かって⇒面積や体積 を求める” です．
しかし，時には，逆の発想もありです．
Ｑ2 右図で，AHの長さを求めてください．ただし，△ABC, △HABは直角三角形とします．
Ａ2 △ABC∽△HBA より相似比を用いる，あるいは，AH=x とおいて，三平方の定理から求める，といった方法が一般的です．
＜別解＞△ABC=1/2･AC･AB=30
一方，△ABC=1/2･BC･AH
よって，1/2･BC･AH=30 より，AH=60/13
Q3 右図は1辺6の立方体です．三角すいO-PQRについて，頂点Oから底面△PQRへ下ろした垂線の足をHとするとき，OHの長さを求めなさい．
Ａ3 ＜略解＞
① OH=x として三平方の定理を駆使する
② Oを原点とする空間座標内に立方体を置き，平面△PQRと原点Oとの距離公式を用いる
いずれにしてもかなりの腕力が必須です．
■ Ａ2, Ａ3 の別解は，どんな計算ルートでも面積（体積）値：一定 という結果を逆手にとった，柔らかい発想例ですね．
■ では，本論：超定理の証明に戻りましょう．
はさみうちの原理の”典型”
■ 上図で，sinθ<θ は，長さ(距離)比較で何とか解説済みですが，θ<AC で行き詰まっておりました．
■ そこで，長さの直接比較を一旦棚上げにして，面積比較をしてみます．
図で，△OAB＜扇形OAB＜△OAC が成り立ちます．
ここで，△OAB=1/2･1･sinθ=1/2 sinθ
扇形OAB=1/2･1²･θ=1/2 θ（← 扇形面積公式:1/2r²θ)
△OAC=1/2･1･AC=1/2 tanθ（← AC=tanθ）
よって
■ 1行目は面積比較ですが，2行目が線分と弧長の長さ比較に移っています．
結局，苦労したテーマ「sinθ<θ」も面積比較する中で同時に解決したことになります．
← はじめからそうすれば？ いやいや手順を踏むことで理解度が深くなり，応用力もつくものと考えます．
＜補足＞
■ 次回テーマ「”有理化”への疑問あれこれ」（予定）です．有理化が，単なる式変形・計算練習に映っているかも．
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