記号「…」って，便利^あいまい
例えば，1/7=0.1428571428…, √2=1.4142135… について，この両者共通に使用されている「…」は雰囲気として分かりますが，何かスッキリしないところありませんか．
「…」の読み方＆意味
■ 読み方は，”3点リーダ“が本家らしいのですが，”テンテンテン”と言っても通じますね．文字変換の際は”さんてん“と入力するとよいでしょう．
数学では，継続や省略 を示す際に用いられます．
なお，一般文では「…」の外にピリオドを用いた「．．．」が登場するケースが多くありますが，数学では主に前者が使用されています．
教科書デビュー例：2/3の小数表示
■ ある小5算数教科書に 「2÷3=0.66… 割り切れないな」 という解説(コラム)を見つけました．
このように，分数を小数展開する際，割り切れないとき「いくらでも続く」を表す意味で「…」という記号を使っています．日常生活用語の延長で「ワカルでしょ」くらいの扱いでしょうか．
√2 やπ など無理数の小数表示
■ 実数は，有理数と無理数からなります．
①有限小数 or 循環する無限小数 ⇔ 分数表示できる（有理数）
$$\frac{1}{7}=0.142857142857･･･$$
このように長い循環小数となる場合でも，循環ですから「小数点以下n桁目の数は？」という問にも n を用いて式で答えられるわけです(→ 小数点以下100桁目の数は計算で8と答えられる)．
ところが
② √2=1.4142135… ，π=3.141592… などの無理数の場合，各桁の出現する数に規則性がありませんから，nを用いての一般的な説明もできません．
■ 循環しない無限小数 は分数表示できない(無理数)ので，小数表示をするよりほかありません．
すると，ある程度の小数点以下からは「…」を用いてイメージで表すことに！
つまり，②の場合は，口惜しい思いで「…」を使用しているのではないか！？と感じます．
■ 以上，「…」が使用される場面についてまとめると
Ⅰ 分数を小数展開したときに，有限桁数の数字の並びが無限にくり返される
2/3=0.666… ，1/7=0.1428571428…
Ⅱ √3などのように,無理数を小数表示すると，各桁の数は規則性なくかつ無限に発生する
√3=1.7320508…
の2タイプがありそうです．
ところがコトは簡単ではありません．Ⅰのパターンはさらなるツッコミが必要です．
0.666…は数なのか？
■ このように「分数→小数展開」は算数教科書でも紹介されているくらいですからいいでしょう．
しかし，逆に，0.666…※ が与えられたとき，※が数を表し
0.666……=2/3 である！
と言い切れるかどうかはそんなに簡単なコトではありません．
■ つまり，x=0.666… ② とおいたとき，②が何を示すのか？イメージとしては2/3なのでしょうが，「…」の意味がハッキリしません．
次のような式による解説も見受けます．
一見，論理的なのですが，④－③ の演算が引っ掛かります．
なぜなら，足し算，引き算，かけ算等々の演算は有限値・有限個数の中でルールが作られていますが「…」には無限個の数があります．
■ 無数や無限大の扱いには慎重さが必要です．
例：無限大に5くらい加えても無限大は不変ですね．
すると，∞+5 = ∞ ∴5 = 0 ?！
やはり，ここは新たなルールを作って，0.666…=2/3 を導くべきですね．
⇒ ここに級数という概念を導入する背景があり，「…」にも意味を持たせなければなりません．後日のテーマにします．
＜補足＞
■ 次回テーマは「通貨のデジタル化」（予定）です．10進法の理解に通貨の果たす役割はきわめて重要です．それが，今，大変なことに！
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